Дано

$$frac{1}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right) cos{left (x right )}}$$
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

    f{left (x right )} = cos{left (x right )}
    и
    g{left (x right )} = left(cos{left (x right )} + 1right) cos{left (x right )}
    $$ .

    Чтобы найти $$
    frac{d}{d x} f{left (x right )}
    :

    1. Производная косинус есть минус синус:

      frac{d}{d x} cos{left (x right )} = – sin{left (x right )}

    Чтобы найти
    frac{d}{d x} g{left (x right )}
    :

    1. Применяем правило производной умножения:

      frac{d}{d x}left(f{left (x right )} g{left (x right )}right) = f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}

      f{left (x right )} = cos{left (x right )} + 1
      ; найдём
      frac{d}{d x} f{left (x right )}
      :

      1. дифференцируем
        cos{left (x right )} + 1
        почленно:

        1. Производная постоянной
          1
          равна нулю.

        2. Производная косинус есть минус синус:

          frac{d}{d x} cos{left (x right )} = – sin{left (x right )}

        В результате:
        – sin{left (x right )}

      g{left (x right )} = cos{left (x right )}
      ; найдём
      frac{d}{d x} g{left (x right )}
      :

      1. Производная косинус есть минус синус:

        frac{d}{d x} cos{left (x right )} = – sin{left (x right )}

      В результате:
      – left(cos{left (x right )} + 1right) sin{left (x right )} – sin{left (x right )} cos{left (x right )}

    Теперь применим правило производной деления:

    frac{1}{left(cos{left (x right )} + 1right)^{2} cos^{2}{left (x right )}} left(- left(- left(cos{left (x right )} + 1right) sin{left (x right )} – sin{left (x right )} cos{left (x right )}right) cos{left (x right )} – left(cos{left (x right )} + 1right) sin{left (x right )} cos{left (x right )}right)

  2. Теперь упростим:

    frac{sin{left (x right )}}{left(cos{left (x right )} + 1right)^{2}}

Читайте также  Производная cos(x)^(2)

Ответ:

frac{sin{left (x right )}}{left(cos{left (x right )} + 1right)^{2}}

Первая производная

sin(x) sin(x)
——————– – ———————
/ 1 2 2
|1 + ——|*cos (x) / 1 3
cos(x)/ |1 + ——| *cos (x)
cos(x)/

$$frac{sin{left (x right )}}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right) cos^{2}{left (x right )}} – frac{sin{left (x right )}}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right)^{2} cos^{3}{left (x right )}}$$
Вторая производная

2 2 2
1 2*sin (x) 4*sin (x) 2*sin (x)
1 – ——————- + ——— – ——————– + ———————
/ 1 2 / 1 3 2
|1 + ——|*cos(x) cos (x) |1 + ——|*cos (x) / 1 4
cos(x)/ cos(x)/ |1 + ——| *cos (x)
cos(x)/
———————————————————————————-
/ 1
|1 + ——|*cos(x)
cos(x)/

$$frac{1}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right) cos{left (x right )}} left(frac{2 sin^{2}{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} + 1 – frac{4 sin^{2}{left (x right )}}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right) cos^{3}{left (x right )}} – frac{1}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right) cos{left (x right )}} + frac{2 sin^{2}{left (x right )}}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right)^{2} cos^{4}{left (x right )}}right)$$
Третья производная

/ 2 2 2 2
| 11 6 6*sin (x) 18*sin (x) 6*sin (x) 18*sin (x) |
|5 – ——————- + ——————— + ——— – ——————– – ——————— + ———————|*sin(x)
| / 1 2 2 / 1 3 3 2 |
| |1 + ——|*cos(x) / 1 2 cos (x) |1 + ——|*cos (x) / 1 5 / 1 4 |
| cos(x)/ |1 + ——| *cos (x) cos(x)/ |1 + ——| *cos (x) |1 + ——| *cos (x)|
cos(x)/ cos(x)/ cos(x)/ /
——————————————————————————————————————————————-
/ 1 2
|1 + ——|*cos (x)
cos(x)/

$$frac{sin{left (x right )}}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right) cos^{2}{left (x right )}} left(frac{6 sin^{2}{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} + 5 – frac{18 sin^{2}{left (x right )}}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right) cos^{3}{left (x right )}} – frac{11}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right) cos{left (x right )}} + frac{18 sin^{2}{left (x right )}}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right)^{2} cos^{4}{left (x right )}} + frac{6}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right)^{2} cos^{2}{left (x right )}} – frac{6 sin^{2}{left (x right )}}{left(1 + frac{1}{cos{left (x right )}}right)^{3} cos^{5}{left (x right )}}right)$$
Читайте также  Производная 1/x^n
   
5.0
user573277
Богатый опыт в области подготовки аналитических докладов, презентаций, написания научных статей, решения бизнес-кейсов. В частности, я являюсь призером и лауреатом различных конференций, автором ряда статей в журналах из списков ВАК и РИНЦ.