Дано

$$frac{sin{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )}}{sin{left (frac{x}{2} right )}}$$
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

    f{left (x right )} = sin{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )}
    и
    g{left (x right )} = sin{left (frac{x}{2} right )}
    $$ .

    Чтобы найти $$
    frac{d}{d x} f{left (x right )}
    :

    1. Заменим
      u = frac{1}{2} left(h + xright)
      .

    2. Производная синуса есть косинус:

      frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{partial}{partial x}left(frac{1}{2} left(h + xright)right)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. дифференцируем
          h + x
          почленно:

          1. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

          2. Производная постоянной
            h
            равна нулю.

          В результате:
          1

        Таким образом, в результате:
        frac{1}{2}

      В результате последовательности правил:

      frac{1}{2} cos{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )}

    Чтобы найти
    frac{d}{d x} g{left (x right )}
    :

    1. Заменим
      u = frac{x}{2}
      .

    2. Производная синуса есть косинус:

      frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(frac{x}{2}right)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим:
          x
          получим
          1

        Таким образом, в результате:
        frac{1}{2}

      В результате последовательности правил:

      frac{1}{2} cos{left (frac{x}{2} right )}

    Теперь применим правило производной деления:

    frac{1}{sin^{2}{left (frac{x}{2} right )}} left(frac{1}{2} sin{left (frac{x}{2} right )} cos{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )} – frac{1}{2} sin{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )} cos{left (frac{x}{2} right )}right)

  2. Теперь упростим:

    frac{sin{left (frac{h}{2} right )}}{cos{left (x right )} – 1}

Читайте также  Производная sqrt(cot(x))-sqrt(cot(a))

Ответ:

frac{sin{left (frac{h}{2} right )}}{cos{left (x right )} – 1}

Первая производная

/x + h /x /x + h
cos|—–| cos|-|*sin|—–|
2 / 2/ 2 /
———- – —————–
/x 2/x
2*sin|-| 2*sin |-|
2/ 2/

$$frac{cos{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )}}{2 sin{left (frac{x}{2} right )}} – frac{cos{left (frac{x}{2} right )}}{2 sin^{2}{left (frac{x}{2} right )}} sin{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )}$$
Вторая производная

/ /x /h + x
| cos|-|*sin|—–||
| /h + x 2/ 2 /| /x
|- cos|—–| + —————–|*cos|-|
| 2 / /x | 2/
| sin|-| |
2/ /
—————————————–
2/x
2*sin |-|
2/

$$frac{cos{left (frac{x}{2} right )}}{2 sin^{2}{left (frac{x}{2} right )}} left(- cos{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )} + frac{cos{left (frac{x}{2} right )}}{sin{left (frac{x}{2} right )}} sin{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )}right)$$
Третья производная

/x /h + x 3/x /h + x 2/x /h + x
cos|-|*sin|—–| 3*cos |-|*sin|—–| 3*cos |-|*cos|—–|
2/ 2 / 2/ 2 / 2/ 2 / /h + x
– —————– – ——————– + ——————– + cos|—–|
/x 3/x 2/x 2 /
sin|-| sin |-| sin |-|
2/ 2/ 2/
——————————————————————————
/x
4*sin|-|
2/

$$frac{1}{4 sin{left (frac{x}{2} right )}} left(cos{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )} – frac{cos{left (frac{x}{2} right )}}{sin{left (frac{x}{2} right )}} sin{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )} + frac{3 cos^{2}{left (frac{x}{2} right )}}{sin^{2}{left (frac{x}{2} right )}} cos{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )} – frac{3 cos^{3}{left (frac{x}{2} right )}}{sin^{3}{left (frac{x}{2} right )}} sin{left (frac{1}{2} left(h + xright) right )}right)$$
Упростить
   
5.0
Kesha91
На данном сайте недавно, однако имею опыт написания работ (рефераты,эссе, статьи, курсовые и дипломные работы, решение задач и др.) с 2011 года. Выполняю работы оригинальностью более 70% (не техническая)