Дано

$$frac{sin^{2}{left (x right )}}{sin{left (x^{2} right )}}$$
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

    f{left (x right )} = sin^{2}{left (x right )}
    и
    g{left (x right )} = sin{left (x^{2} right )}
    $$ .

    Чтобы найти $$
    frac{d}{d x} f{left (x right )}
    :

    1. Заменим
      u = sin{left (x right )}
      .

    2. В силу правила, применим:
      u^{2}
      получим
      2 u

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x} sin{left (x right )}
      :

      1. Производная синуса есть косинус:

        frac{d}{d x} sin{left (x right )} = cos{left (x right )}

      В результате последовательности правил:

      2 sin{left (x right )} cos{left (x right )}

    Чтобы найти
    frac{d}{d x} g{left (x right )}
    :

    1. Заменим
      u = x^{2}
      .

    2. Производная синуса есть косинус:

      frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x} x^{2}
      :

      1. В силу правила, применим:
        x^{2}
        получим
        2 x

      В результате последовательности правил:

      2 x cos{left (x^{2} right )}

    Теперь применим правило производной деления:

    frac{1}{sin^{2}{left (x^{2} right )}} left(- 2 x sin^{2}{left (x right )} cos{left (x^{2} right )} + 2 sin{left (x right )} sin{left (x^{2} right )} cos{left (x right )}right)

  2. Теперь упростим:

    frac{2 sin{left (x right )}}{sin{left (x^{2} right )}} left(- frac{x sin{left (x right )}}{tan{left (x^{2} right )}} + cos{left (x right )}right)


Ответ:

frac{2 sin{left (x right )}}{sin{left (x^{2} right )}} left(- frac{x sin{left (x right )}}{tan{left (x^{2} right )}} + cos{left (x right )}right)

Первая производная

2 / 2
2*cos(x)*sin(x) 2*x*sin (x)*cosx /
————— – ——————-
/ 2 2/ 2
sinx / sin x /

$$- frac{2 x sin^{2}{left (x right )}}{sin^{2}{left (x^{2} right )}} cos{left (x^{2} right )} + frac{2 cos{left (x right )}}{sin{left (x^{2} right )}} sin{left (x right )}$$
Вторая производная

/ 2 / 2 2 2/ 2 2 / 2
| 2 2 2 2 sin (x)*cosx / 4*x *cos x /*sin (x) 4*x*cos(x)*cosx /*sin(x)|
2*|cos (x) – sin (x) + 2*x *sin (x) – ————— + ——————— – ————————-|
| / 2 2/ 2 / 2 |
sinx / sin x / sinx / /
———————————————————————————————————-
/ 2
sinx /

$$frac{1}{sin{left (x^{2} right )}} left(4 x^{2} sin^{2}{left (x right )} + frac{8 x^{2} cos^{2}{left (x^{2} right )}}{sin^{2}{left (x^{2} right )}} sin^{2}{left (x right )} – frac{8 x cos{left (x right )}}{sin{left (x^{2} right )}} sin{left (x right )} cos{left (x^{2} right )} – 2 sin^{2}{left (x right )} – frac{2 sin^{2}{left (x right )}}{sin{left (x^{2} right )}} cos{left (x^{2} right )} + 2 cos^{2}{left (x right )}right)$$
Третья производная

/ 3 3/ 2 2 3 2 / 2 2 / 2 / 2 2 / 2 2/ 2 2 2 2/ 2
| 2 2 12*x *cos x /*sin (x) 10*x *sin (x)*cosx / 3*x*cos (x)*cosx / 3*cos(x)*cosx /*sin(x) 3*x*sin (x)*cosx / 6*x*cos x /*sin (x) 12*x *cos x /*cos(x)*sin(x)|
4*|-2*cos(x)*sin(x) + 3*x*sin (x) + 6*x *cos(x)*sin(x) – ———————- – ——————— – ——————- – ———————– + ——————- + ——————– + —————————-|
| 3/ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 2/ 2 2/ 2 |
sin x / sinx / sinx / sinx / sinx / sin x / sin x / /
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
/ 2
sinx /

$$frac{1}{sin{left (x^{2} right )}} left(- frac{40 x^{3} sin^{2}{left (x right )}}{sin{left (x^{2} right )}} cos{left (x^{2} right )} – frac{48 x^{3} cos^{3}{left (x^{2} right )}}{sin^{3}{left (x^{2} right )}} sin^{2}{left (x right )} + 24 x^{2} sin{left (x right )} cos{left (x right )} + frac{48 x^{2} cos^{2}{left (x^{2} right )}}{sin^{2}{left (x^{2} right )}} sin{left (x right )} cos{left (x right )} + 12 x sin^{2}{left (x right )} + frac{12 x sin^{2}{left (x right )}}{sin{left (x^{2} right )}} cos{left (x^{2} right )} + frac{24 x cos^{2}{left (x^{2} right )}}{sin^{2}{left (x^{2} right )}} sin^{2}{left (x right )} – frac{12 x cos^{2}{left (x right )}}{sin{left (x^{2} right )}} cos{left (x^{2} right )} – 8 sin{left (x right )} cos{left (x right )} – frac{12 cos{left (x right )}}{sin{left (x^{2} right )}} sin{left (x right )} cos{left (x^{2} right )}right)$$
   
3.84
diplomchikna5
О себе: юридический стаж с 2005 года от юрисконсульта до начальника контрольно-правового и кадрового обеспечения на предприятии, так же работа в следственном отделе, муниципалитете. Знаю о последних изменениях в законодательстве.