Дано

$$left(frac{1}{x} left(x^{2} + 1right)right)^{2}$$
Подробное решение
  1. Заменим
    u = frac{1}{x} left(x^{2} + 1right)
    .

  2. В силу правила, применим:
    u^{2}
    получим
    2 u

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
    frac{d}{d x}left(frac{1}{x} left(x^{2} + 1right)right)
    :

    1. Применим правило производной частного:

      frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

      f{left (x right )} = x^{2} + 1
      и
      g{left (x right )} = x
      $$ .

      Чтобы найти $$
      frac{d}{d x} f{left (x right )}
      :

      1. дифференцируем
        x^{2} + 1
        почленно:

        1. Производная постоянной
          1
          равна нулю.

        2. В силу правила, применим:
          x^{2}
          получим
          2 x

        В результате:
        2 x

      Чтобы найти
      frac{d}{d x} g{left (x right )}
      :

      1. В силу правила, применим:
        x
        получим
        1

      Теперь применим правило производной деления:

      frac{1}{x^{2}} left(x^{2} – 1right)

    В результате последовательности правил:

    frac{2}{x^{3}} left(x^{2} – 1right) left(x^{2} + 1right)

  4. Теперь упростим:

    2 x – frac{2}{x^{3}}


Ответ:

2 x – frac{2}{x^{3}}

Первая производная

2
/ 2 / / 2
x + 1/ | 2*x + 1/|
x*———*|4 – ———-|
2 | 2 |
x x /
—————————-
2
x + 1

$$frac{frac{1}{x} left(x^{2} + 1right)^{2}}{x^{2} + 1} left(4 – frac{1}{x^{2}} left(2 x^{2} + 2right)right)$$
Вторая производная

/ / 2 / 2
| / 2 | 1 + x | / 2 | 1 + x ||
| 2 1 + x /*|2 – ——| 2*1 + x /*|1 – ——||
| / 2 / 2 | 2 | | 2 ||
| | 1 + x | 2*1 + x / x / x /|
2*|-4 + 2*|2 – ——| + ———- + ——————— – ———————–|
| | 2 | 2 2 2 |
x / x x x /

$$2 left(2 left(2 – frac{1}{x^{2}} left(x^{2} + 1right)right)^{2} – 4 – frac{2}{x^{2}} left(1 – frac{1}{x^{2}} left(x^{2} + 1right)right) left(x^{2} + 1right) + frac{1}{x^{2}} left(2 – frac{1}{x^{2}} left(x^{2} + 1right)right) left(x^{2} + 1right) + frac{1}{x^{2}} left(2 x^{2} + 2right)right)$$
Третья производная

/ 2 2 / 2
|/ 2 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 | / 2 / 2 ||
|| 1 + x | 1 + x / 2 | 1 + x | | 1 + x | | 1 + x | | 1 + x | / 2 | 1 + x | | 1 + x | | 6*1 + x / 3*1 + x / ||
||2 – ——| 2 – —— 1 + x /*|2 – ——| 2*x*|2 – ——| 2*|1 – ——|*|2 – ——| 3*1 + x /*|1 – ——| x*|2 – ——|*|4 – ———- + ———–||
|| 2 | 2 | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 4 ||
| x / x x / x / x / x / x / x / x x /|
4*|————- + ———- – ——————— – —————– – ————————— + ———————– + ———————————————|
| x x 3 2 x 3 2 |
x 1 + x x 1 + x /

$$4 left(- frac{2 x}{x^{2} + 1} left(2 – frac{1}{x^{2}} left(x^{2} + 1right)right)^{2} + frac{x}{x^{2} + 1} left(2 – frac{1}{x^{2}} left(x^{2} + 1right)right) left(4 – frac{1}{x^{2}} left(6 x^{2} + 6right) + frac{3}{x^{4}} left(x^{2} + 1right)^{2}right) – frac{2}{x} left(1 – frac{1}{x^{2}} left(x^{2} + 1right)right) left(2 – frac{1}{x^{2}} left(x^{2} + 1right)right) + frac{1}{x} left(2 – frac{1}{x^{2}} left(x^{2} + 1right)right)^{2} + frac{1}{x} left(2 – frac{1}{x^{2}} left(x^{2} + 1right)right) + frac{3}{x^{3}} left(1 – frac{1}{x^{2}} left(x^{2} + 1right)right) left(x^{2} + 1right) – frac{1}{x^{3}} left(2 – frac{1}{x^{2}} left(x^{2} + 1right)right) left(x^{2} + 1right)right)$$
   

Выполненные готовые работы

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.

 
5.0
Rassy
Пишу курсовые, рефераты, лабораторные и контрольные работы. Также пишу рефераты и статьи более одного года по информатике, экономике, географии, истории. Также поднимаю уникальность работ.