Дано

$$int_{0}^{1} frac{1}{e^{x} + 2}, dx$$
Подробное решение
  1. Перепишите подынтегральное выражение:

    frac{1}{e^{x} + 2} = frac{1}{e^{x} + 2}

  2. пусть
    u = e^{x}
    .

    Тогда пусть
    du = e^{x} dx
    и подставим
    du
    :

    int frac{1}{u left(u + 2right)}, du

    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        frac{1}{u left(u + 2right)} = – frac{1}{2 u + 4} + frac{1}{2 u}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int – frac{1}{2 u + 4}, du = – frac{1}{2} int frac{1}{u + 2}, du

          1. пусть
            u = u + 2
            .

            Тогда пусть
            du = du
            и подставим
            du
            :

            int frac{1}{u}, du

            1. Интеграл
              frac{1}{u}
              есть
              log{left (u right )}
              .$$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            log{left (u + 2 right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          – frac{1}{2} log{left (u + 2 right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int frac{1}{2 u}, du = frac{1}{2} int frac{1}{u}, du

          1. Интеграл
            frac{1}{u}
            есть
            log{left (u right )}
            .$$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{1}{2} log{left (u right )}

        Результат есть:
        frac{1}{2} log{left (u right )} – frac{1}{2} log{left (u + 2 right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        frac{1}{u left(u + 2right)} = frac{1}{u^{2} + 2 u}

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        frac{1}{u^{2} + 2 u} = – frac{1}{2 u + 4} + frac{1}{2 u}

      3. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int – frac{1}{2 u + 4}, du = – frac{1}{2} int frac{1}{u + 2}, du

          1. пусть
            u = u + 2
            .

            Тогда пусть
            du = du
            и подставим
            du
            :

            int frac{1}{u}, du

            1. Интеграл
              frac{1}{u}
              есть
              log{left (u right )}
              .$$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            log{left (u + 2 right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          – frac{1}{2} log{left (u + 2 right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int frac{1}{2 u}, du = frac{1}{2} int frac{1}{u}, du

          1. Интеграл
            frac{1}{u}
            есть
            log{left (u right )}
            .$$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{1}{2} log{left (u right )}

        Результат есть:
        frac{1}{2} log{left (u right )} – frac{1}{2} log{left (u + 2 right )}

Если сейчас заменить
u
ещё в:

Читайте также  Интеграл dx/1+sin(x) (dx)

– frac{1}{2} log{left (e^{x} + 2 right )} + frac{1}{2} log{left (e^{x} right )}

  • Добавляем постоянную интегрирования:

    – frac{1}{2} log{left (e^{x} + 2 right )} + frac{1}{2} log{left (e^{x} right )}+ mathrm{constant}


  • Ответ:

    – frac{1}{2} log{left (e^{x} + 2 right )} + frac{1}{2} log{left (e^{x} right )}+ mathrm{constant}

Ответ

1
/
|
| 1 1 log(3) log(2 + E)
| —— dx = – + —— – ———-
| x 2 2 2
| E + 2
|
/
0

$${{log 3}over{2,log E}}-{{log left(E+2right)-log E}over{2,
log E}}$$
Численный ответ

0.273583787368029

Ответ (Неопределённый)

/
| / x / x
| 1 loge / log2 + e /
| —— dx = C + ——- – ———–
| x 2 2
| E + 2
|
/

$${{x}over{2}}-{{log left(E^{x}+2right)}over{2,log E}}$$
   
5.0
Nika94
Имею большой опыт по написанию курсовых, дипломных работ в сфере "юриспруденция", "педагогика", а также большой опыт по техническим наукам, особенно в решении задач по физике.

Выполненные готовые работы

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.