Дано

$$int_{0}^{1} frac{- sin^{3}{left (x right )} + 2}{cos^{2}{left (x right )}}, dx$$
Подробное решение
  1. Перепишите подынтегральное выражение:

    frac{- sin^{3}{left (x right )} + 2}{cos^{2}{left (x right )}} = – frac{sin^{3}{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} + frac{2}{cos^{2}{left (x right )}}

  2. Интегрируем почленно:

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int – frac{sin^{3}{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}}, dx = – int frac{sin^{3}{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}}, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        frac{sin^{3}{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} = frac{sin{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} left(- cos^{2}{left (x right )} + 1right)

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. пусть
          u = cos{left (x right )}
          .

          Тогда пусть
          du = – sin{left (x right )} dx
          и подставим
          du
          :

          int frac{1}{u^{2}} left(u^{2} – 1right), du

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            frac{1}{u^{2}} left(u^{2} – 1right) = 1 – frac{1}{u^{2}}

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              int 1, du = u

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int – frac{1}{u^{2}}, du = – int frac{1}{u^{2}}, du

              1. Интеграл
                u^{n}
                есть
                frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                :

                int frac{1}{u^{2}}, du = – frac{1}{u}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              frac{1}{u}

            Результат есть:
            u + frac{1}{u}
            $$

          Если сейчас заменить $$
          u
          ещё в:

          cos{left (x right )} + frac{1}{cos{left (x right )}}

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          frac{sin{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}} left(- cos^{2}{left (x right )} + 1right) = – sin{left (x right )} + frac{sin{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )}}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int – sin{left (x right )}, dx = – int sin{left (x right )}, dx

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              int sin{left (x right )}, dx = – cos{left (x right )}
              $$

            Таким образом, результат будет: $$
            cos{left (x right )}

          1. пусть
            u = cos{left (x right )}
            .

            Тогда пусть
            du = – sin{left (x right )} dx
            и подставим
            – du
            :

            int frac{1}{u^{2}}, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              int frac{1}{u^{2}}, du = – int frac{1}{u^{2}}, du

              1. Интеграл
                u^{n}
                есть
                frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                :

                int frac{1}{u^{2}}, du = – frac{1}{u}
                $$

              Таким образом, результат будет: $$
              frac{1}{u}
              $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            frac{1}{cos{left (x right )}}

          Результат есть:
          cos{left (x right )} + frac{1}{cos{left (x right )}}

      Таким образом, результат будет:
      – cos{left (x right )} – frac{1}{cos{left (x right )}}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int frac{2}{cos^{2}{left (x right )}}, dx = 2 int frac{1}{cos^{2}{left (x right )}}, dx

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

        Но интеграл

        frac{sin{left (x right )}}{cos{left (x right )}}
        $$

      Таким образом, результат будет: $$
      frac{2 sin{left (x right )}}{cos{left (x right )}}

    Результат есть:
    frac{2 sin{left (x right )}}{cos{left (x right )}} – cos{left (x right )} – frac{1}{cos{left (x right )}}

  3. Теперь упростить:

    – cos{left (x right )} + 2 tan{left (x right )} – frac{1}{cos{left (x right )}}
    $$

  4. Добавляем постоянную интегрирования:

    $$
    – cos{left (x right )} + 2 tan{left (x right )} – frac{1}{cos{left (x right )}}+ mathrm{constant}

Читайте также  Интеграл sqrt(7-x^2) (dx)

Ответ:

– cos{left (x right )} + 2 tan{left (x right )} – frac{1}{cos{left (x right )}}+ mathrm{constant}

Ответ

1
/
|
| 3 3
| 2 – sin (x) 4 4*tan (1/2) 4*tan(1/2)
| ———– dx = 4 + ————– – ————– – ————–
| 2 4 4 4
| cos (x) -1 + tan (1/2) -1 + tan (1/2) -1 + tan (1/2)
|
/
0

$$2,tan 1-cos 1-{{1}over{cos 1}}+2$$
Численный ответ

2.72369742576074

Ответ (Неопределённый)

/
|
| 3
| 2 – sin (x) 1 2*sin(x)
| ———– dx = C – —— – cos(x) + ——–
| 2 cos(x) cos(x)
| cos (x)
|
/

$$2,tan x-cos x-{{1}over{cos x}}$$
   
4.02
Lucas
Решаю контрольные по немецкому, итальянскому, французскому, латыни русскому и английскому языку, выполняю переводы. Специализируюсь на гуманитарных предметах: история, философия, педагогика, социология, право, литература, психология.

Выполненные готовые работы

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.