Интеграл (3+cos(2*x))^2 (dx)

Дано

$$\int_{0}^{1} \left(\cos{\left (2 x \right )} + 3\right)^{2}, dx$$
Подробное решение
  1. Перепишите подынтегральное выражение:

    \left(\cos{\left (2 x \right )} + 3\right)^{2} = \cos^{2}{\left (2 x \right )} + 6 \cos{\left (2 x \right )} + 9

  2. Интегрируем почленно:

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      \cos^{2}{\left (2 x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{2}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        \int \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}, dx

        1. пусть
          u = 4 x
          .

          Тогда пусть
          du = 4 dx
          и подставим
          \frac{du}{4}
          :

          \int \cos{\left (u \right )}, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            \int \cos{\left (u \right )}, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}, du
            $$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

              $$
              \int \cos{\left (u \right )}, du = \sin{\left (u \right )}
              $$

            Таким образом, результат будет: $$
            \frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}
            $$

          Если сейчас заменить $$
          u
          ещё в:

          \frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}
          $$

        Таким образом, результат будет: $$
        \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        \int \frac{1}{2}, dx = \frac{x}{2}

      Результат есть:
      \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      \int 6 \cos{\left (2 x \right )}, dx = 6 \int \cos{\left (2 x \right )}, dx

      1. пусть
        u = 2 x
        .

        Тогда пусть
        du = 2 dx
        и подставим
        \frac{du}{2}
        :

        \int \cos{\left (u \right )}, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          \int \cos{\left (u \right )}, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}, du
          $$

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $$
            \int \cos{\left (u \right )}, du = \sin{\left (u \right )}
            $$

          Таким образом, результат будет: $$
          \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}
          $$

        Если сейчас заменить $$
        u
        ещё в:

        \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}
        $$

      Таким образом, результат будет: $$
      3 \sin{\left (2 x \right )}

    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      \int 9, dx = 9 x

    Результат есть:
    \frac{19 x}{2} + 3 \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}
    $$

  3. Добавляем постоянную интегрирования:

    $$
    \frac{19 x}{2} + 3 \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}+ mathrm{constant}

Читайте также  Интеграл 1/coth(x) (dx)

Ответ:

\frac{19 x}{2} + 3 \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}+ mathrm{constant}

Ответ

1
/
| 2 2
| 2 cos (2) sin (2) cos(2)*sin(2)
| (3 + cos(2*x)) dx = 9 + ——- + ——- + 3*sin(2) + ————-
| 2 2 4
/
0

$${{{{\sin 4+4}over{4}}+6,\sin 2+18}over{2}}$$
Численный ответ

12.1332919685636

Ответ (Неопределённый)

/
|
| 2 sin(4*x) 19*x
| (3 + cos(2*x)) dx = C + 3*sin(2*x) + ——— + —-
| 8 2
/

$${{{{\sin \left(4,x\right)}over{2}}+2,x}over{4}}+3,\sin \left(2
,x\right)+9,x$$
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...