Дано

$$int_{0}^{1} {atan}{left (frac{x}{y} right )}, dx$$
Подробное решение

Метод #1

  1. пусть
    u = frac{x}{y}
    .

    Тогда пусть
    du = frac{dx}{y}
    и подставим
    du y
    :

    int {atan}{left (u right )}, du

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      int {atan}{left (u right )}, du = y int {atan}{left (u right )}, du

      1. Используем интегрирование по частям:

        $$
        int {u} {dv}
        = {u}{v} –
        int {v} {du}
        $$

        пусть $$
        u{left (u right )} = {atan}{left (u right )}
        $$ и пусть $$
        {dv}{left (u right )} = 1
        dx.$$

        Затем $$
        {du}{left (u right )} = frac{1}{u^{2} + 1}
        dx$$ .

        Чтобы найти $$
        v{left (u right )}
        :

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          int 1, du = u

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. пусть
        u = u^{2} + 1
        .

        Тогда пусть
        du = 2 u du
        и подставим
        frac{du}{2}
        :

        int frac{1}{u}, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int frac{1}{u}, du = frac{1}{2} int frac{1}{u}, du

          1. Интеграл
            frac{1}{u}
            есть
            log{left (u right )}
            .$$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{1}{2} log{left (u right )}
          $$

        Если сейчас заменить $$
        u
        ещё в:

        frac{1}{2} log{left (u^{2} + 1 right )}
        $$

      Таким образом, результат будет: $$
      y left(u {atan}{left (u right )} – frac{1}{2} log{left (u^{2} + 1 right )}right)
      $$

    Если сейчас заменить $$
    u
    ещё в:

    y left(frac{x}{y} {atan}{left (frac{x}{y} right )} – frac{1}{2} log{left (frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 right )}right)

Метод #2

  1. Используем интегрирование по частям:

    $$
    int {u} {dv}
    = {u}{v} –
    int {v} {du}
    $$

    пусть $$
    u{left (x right )} = {atan}{left (frac{x}{y} right )}
    $$ и пусть $$
    {dv}{left (x right )} = 1
    dx.$$

    Затем $$
    {du}{left (x right )} = frac{1}{y left(frac{x^{2}}{y^{2}} + 1right)}
    dx$$ .

    Чтобы найти $$
    v{left (x right )}
    :

    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      int 1, dx = x
      $$

    Теперь решаем под-интеграл.

  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

    $$
    int frac{x}{y left(frac{x^{2}}{y^{2}} + 1right)}, dx = frac{1}{y} int frac{x}{frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}, dx

    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть
        u = frac{x^{2}}{y^{2}} + 1
        .

        Тогда пусть
        du = frac{2 x}{y^{2}} dx
        и подставим
        frac{du y^{2}}{2}
        :

        int frac{1}{u}, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          int frac{1}{u}, du = frac{y^{2}}{2} int frac{1}{u}, du

          1. Интеграл
            frac{1}{u}
            есть
            log{left (u right )}
            .$$

          Таким образом, результат будет: $$
          frac{y^{2}}{2} log{left (u right )}
          $$

        Если сейчас заменить $$
        u
        ещё в:

        frac{y^{2}}{2} log{left (frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        frac{x}{frac{x^{2}}{y^{2}} + 1} = frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{2}}

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        int frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{2}}, dx = y^{2} int frac{x}{x^{2} + y^{2}}, dx

        1. пусть
          u = x^{2} + y^{2}
          .

          Тогда пусть
          du = 2 x dx
          и подставим
          frac{du}{2}
          :

          int frac{1}{u}, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int frac{1}{u}, du = frac{1}{2} int frac{1}{u}, du

            1. Интеграл
              frac{1}{u}
              есть
              log{left (u right )}
              .$$

            Таким образом, результат будет: $$
            frac{1}{2} log{left (u right )}
            $$

          Если сейчас заменить $$
          u
          ещё в:

          frac{1}{2} log{left (x^{2} + y^{2} right )}
          $$

        Таким образом, результат будет: $$
        frac{y^{2}}{2} log{left (x^{2} + y^{2} right )}

    Таким образом, результат будет:
    frac{y}{2} log{left (frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 right )}

Читайте также  Интеграл atan(sqrt(x)) (dx)
  • Теперь упростить:

    x {atan}{left (frac{x}{y} right )} – frac{y}{2} log{left (frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 right )}
    $$

  • Добавляем постоянную интегрирования:

    $$
    x {atan}{left (frac{x}{y} right )} – frac{y}{2} log{left (frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 right )}+ mathrm{constant}


  • Ответ:

    x {atan}{left (frac{x}{y} right )} – frac{y}{2} log{left (frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 right )}+ mathrm{constant}

    Ответ

    1
    /
    | / 2 / 2
    | /x y*logy / y*log1 + y / /1
    | atan|-| dx = ——— – ————- + atan|-|
    | y/ 2 2 y/
    |
    /
    0

    $$arctan left({{1}over{y}}right)-{{y,log left({{y^2+1}over{y^
    2}}right)}over{2}}$$
    Ответ (Неопределённый)

    / / 2
    | | x | |
    / | log|1 + –| /x|
    | | | 2| x*atan|-||
    | /x | y / y/|
    | atan|-| dx = C + y*|- ———– + ———|
    | y/ 2 y /
    |
    /

    $$left({{x,arctan left({{x}over{y}}right)}over{y}}-{{log
    left({{x^2}over{y^2}}+1right)}over{2}}right),y$$
    Упростить
       
    5.0
    avrprog
    Занимаюсь созданием сайтов, разработкой устройств на микроконтроллерах avr, пишу на языке Си. Пишу рефераты, контрольные работы, расчетные работы по электротехнике, электронике, радиотехнике, транспортным средствам,

    Выполненные готовые работы

    Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.