Дано

$$16^{x} – 2 cdot 4^{x} + 1 > 0$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$16^{x} – 2 cdot 4^{x} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$16^{x} – 2 cdot 4^{x} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$16^{x} – 2 cdot 4^{x} + 1 = 0$$
или
$$16^{x} – 2 cdot 4^{x} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v^{2} – 2 v + 1 = 0$$
или
$$v^{2} – 2 v + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-2)^2 – 4 * (1) * (1) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

v = -b/2a = –2/2/(1)

$$v_{1} = 1$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (4 right )}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$16^{x} – 2 cdot 4^{x} + 1 > 0$$

9/10 9/10
16 – 2*4 + 1 > 0

4/5 3/5
1 – 4*2 + 8*2 > 0

значит решение неравенства будет при:
$$x < 1$$

_____
——-ο——-
x1

Ответ
$$left(-infty < x wedge x < 0right) vee left(0 < x wedge x < inftyright)$$
Ответ №2

(-oo, 0) U (0, oo)

$$x in left(-infty, 0right) cup left(0, inftyright)$$
Читайте также  log(x-1)*5>=1
   
4.22
Merar
Если Вам нужно выполнить контрольную или курсовую работу по экономическому предмету - можете положиться на меня! 88% моих работ получают оценку "отлично", заказчики которые убедились в этом являются моими постоянными клиентами по всему СНГ.