Дано

$$2 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} + 1 > 0$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$2 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} + 1 = 0$$
преобразуем
$$3 cos{left (x right )} + cos{left (2 x right )} + 2 = 0$$
$$2 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 3$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(3)^2 – 4 * (2) * (1) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = – frac{1}{2}$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (- frac{1}{2} right )}$$
$$x_{1} = pi n + frac{2 pi}{3}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (-1 right )}$$
$$x_{2} = pi n + pi$$
$$x_{3} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{3} = pi n – pi + {acos}{left (- frac{1}{2} right )}$$
$$x_{3} = pi n – frac{pi}{3}$$
$$x_{4} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )} – pi$$
$$x_{4} = pi n – pi + {acos}{left (-1 right )}$$
$$x_{4} = pi n$$
$$x_{1} = frac{2 pi}{3}$$
$$x_{2} = pi$$
$$x_{3} = frac{4 pi}{3}$$
$$x_{1} = frac{2 pi}{3}$$
$$x_{2} = pi$$
$$x_{3} = frac{4 pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{2 pi}{3}$$
$$x_{2} = pi$$
$$x_{3} = frac{4 pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{2 pi}{3}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{2 pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$2 cos^{2}{left (x right )} + 3 cos{left (x right )} + 1 > 0$$
$$3 cos{left (- frac{1}{10} + frac{2 pi}{3} right )} + 2 cos^{2}{left (- frac{1}{10} + frac{2 pi}{3} right )} + 1 > 0$$

/1 pi 2/1 pi
1 – 3*cos|– + –| + 2*cos |– + –| > 0
10 3 / 10 3 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < frac{2 pi}{3}$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-ο——-
x1 x2 x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < frac{2 pi}{3}$$
$$x > pi wedge x < frac{4 pi}{3}$$

Ответ
Читайте также  125^x-25^x+(4*25^x-20)*1/(5^x-5)>=4

/ 2*pi
And|-oo < x, x < ----| 3 /

$$-infty < x wedge x < frac{2 pi}{3}$$
Ответ №2

2*pi
(-oo, —-)
3

$$x in left(-infty, frac{2 pi}{3}right)$$
   
4.34
Slavikk85
Специализируюсь в написании рефератов, эссе, решении задач, а также в переводах текста с иностранного языка на русский-и наоборот