Дано

$$2 log^{8}{left (x – 2 right )} > frac{2}{3}$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$2 log^{8}{left (x – 2 right )} > frac{2}{3}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 log^{8}{left (x – 2 right )} = frac{2}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 log^{8}{left (x – 2 right )} = frac{2}{3}$$
преобразуем
$$2 log^{8}{left (x – 2 right )} – frac{2}{3} = 0$$
$$2 log^{8}{left (x – 2 right )} – frac{2}{3} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x – 2 right )}$$
Дано уравнение
$$2 w^{8} – frac{2}{3} = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 – содержит чётное число 8 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[8]{2} sqrt[8]{w^{8}} = sqrt[8]{frac{2}{3}}$$
$$sqrt[8]{2} sqrt[8]{w^{8}} = -1 sqrt[8]{frac{2}{3}}$$
или
$$sqrt[8]{2} w = frac{sqrt[8]{2}}{3} 3^{frac{7}{8}}$$
$$sqrt[8]{2} w = – frac{sqrt[8]{2}}{3} 3^{frac{7}{8}}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w*2^1/8 = 2^(1/8)*3^(7/8)/3

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w*2^1/8 = 2^1/8*3^7/8/3

Разделим обе части ур-ния на 2^(1/8)

w = 2^(1/8)*3^(7/8)/3 / (2^(1/8))

Получим ответ: w = 3^(7/8)/3
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w*2^1/8 = -2^(1/8)*3^(7/8)/3

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w*2^1/8 = -2^1/8*3^7/8/3

Разделим обе части ур-ния на 2^(1/8)

w = -2^(1/8)*3^(7/8)/3 / (2^(1/8))

Получим ответ: w = -3^(7/8)/3
или
$$w_{1} = – frac{3^{frac{7}{8}}}{3}$$
$$w_{2} = frac{3^{frac{7}{8}}}{3}$$

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = w$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = frac{1}{3}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = frac{1}{3}$$
где
$$r = frac{3^{frac{7}{8}}}{3}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (8 p right )} + cos{left (8 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (8 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (8 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = – frac{3^{frac{7}{8}}}{3}$$
$$z_{2} = frac{3^{frac{7}{8}}}{3}$$
$$z_{3} = – frac{3^{frac{7}{8}} i}{3}$$
$$z_{4} = frac{3^{frac{7}{8}} i}{3}$$
$$z_{5} = – frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} – frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}$$
$$z_{6} = – frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} + frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}$$
$$z_{7} = frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} – frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}$$
$$z_{8} = frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} + frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = w$$
$$w = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = – frac{3^{frac{7}{8}}}{3}$$
$$w_{2} = frac{3^{frac{7}{8}}}{3}$$
$$w_{3} = – frac{3^{frac{7}{8}} i}{3}$$
$$w_{4} = frac{3^{frac{7}{8}} i}{3}$$
$$w_{5} = – frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} – frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}$$
$$w_{6} = – frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} + frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}$$
$$w_{7} = frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} – frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}$$
$$w_{8} = frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} + frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}$$
делаем обратную замену
$$log{left (x – 2 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x – 2 right )} = w$$
$$log{left (x – 2 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w

1
x – 2 = e

упрощаем
$$x – 2 = e^{w}$$
$$x = e^{w} + 2$$
подставляем w:
$$x_{1} = 2 + e^{frac{3^{frac{7}{8}}}{3}}$$
$$x_{2} = 2 + e^{- frac{3^{frac{7}{8}} i}{3}}$$
$$x_{3} = 2 + e^{frac{3^{frac{7}{8}} i}{3}}$$
$$x_{4} = 2 + e^{- frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} – frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}}$$
$$x_{5} = 2 + e^{- frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} + frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}}$$
$$x_{6} = 2 + e^{frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} – frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}}$$
$$x_{7} = 2 + e^{frac{sqrt{2}}{6} 3^{frac{7}{8}} + frac{sqrt{2} i}{6} 3^{frac{7}{8}}}$$
$$x_{8} = e^{- frac{3^{frac{7}{8}}}{3}} + 2$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 2 + e^{frac{3^{frac{7}{8}}}{3}}$$
$$x_{2} = e^{- frac{3^{frac{7}{8}}}{3}} + 2$$
Данные корни
$$x_{2} = e^{- frac{3^{frac{7}{8}}}{3}} + 2$$
$$x_{1} = 2 + e^{frac{3^{frac{7}{8}}}{3}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=

7/8
-3
——
3 1
2 + e – —
10

=
$$e^{- frac{3^{frac{7}{8}}}{3}} + frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 log^{8}{left (x – 2 right )} > frac{2}{3}$$

/ 7/8
| -3 |
| —— |
8| 3 1 |
2*log |2 + e – — – 2| > 2/3
10 /

/ 7/8
| -3 |
| ——|
8| 1 3 | > 2/3
2*log |- — + e |
10 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < e^{- frac{3^{frac{7}{8}}}{3}} + 2$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < e^{- frac{3^{frac{7}{8}}}{3}} + 2$$
$$x > 2 + e^{frac{3^{frac{7}{8}}}{3}}$$

Ответ
$$x < infty wedge 2 + e^{frac{3^{frac{7}{8}}}{3}} < x$$
Ответ №2

7/8
3
—-
3
(2 + e , oo)

$$x in left(2 + e^{frac{3^{frac{7}{8}}}{3}}, inftyright)$$
   

Выполненные готовые работы

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.

 
3.95
deva2309
По специальности работаю с 2010г., есть опыт выполнения контрольных, курсовых, дипломных работ, отчетов по практике на заказ: 2007 - 2014гг. студентам экономических специальностей. Качественно, быстро. Ответственна, пунктуальна.