Дано

$$frac{2^{log{left (x right )}}}{log^{2}{left (2 right )}} + frac{x^{log{left (x right )}}}{log{left (2 right )}} leq 256$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$frac{2^{log{left (x right )}}}{log^{2}{left (2 right )}} + frac{x^{log{left (x right )}}}{log{left (2 right )}} leq 256$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{2^{log{left (x right )}}}{log^{2}{left (2 right )}} + frac{x^{log{left (x right )}}}{log{left (2 right )}} = 256$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{2^{log{left (x right )}}}{log^{2}{left (2 right )}} + frac{x^{log{left (x right )}}}{log{left (2 right )}} = 256$$
преобразуем
$$frac{2^{log{left (x right )}}}{log^{2}{left (2 right )}} + frac{x^{log{left (x right )}}}{log{left (2 right )}} – 256 = 0$$
$$frac{1}{log^{2}{left (2 right )}} left(2^{log{left (x right )}} + x^{log{left (x right )}} log{left (2 right )} – 256 log^{2}{left (2 right )}right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (2 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{1}{w^{2}} left(2^{log{left (x right )}} – 256 w^{2} + w x^{log{left (x right )}}right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
w^2
получим:
$$2^{log{left (x right )}} – 256 w^{2} + w x^{log{left (x right )}} = 0$$
$$2^{log{left (x right )}} – 256 w^{2} + w x^{log{left (x right )}} = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -256$$
$$b = x^{log{left (x right )}}$$
$$c = 2^{log{left (x right )}}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(x^log(x))^2 – 4 * (-256) * (2^log(x)) = x^(2*log(x)) + 1024*2^log(x)

Уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = frac{1}{512} x^{log{left (x right )}} – frac{1}{512} sqrt{1024 cdot 2^{log{left (x right )}} + x^{2 log{left (x right )}}}$$
$$w_{2} = frac{1}{512} x^{log{left (x right )}} + frac{1}{512} sqrt{1024 cdot 2^{log{left (x right )}} + x^{2 log{left (x right )}}}$$
делаем обратную замену
$$log{left (2 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 9.64925577943$$
$$x_{2} = 4.57945844565 + 12.277657709 i$$
$$x_{3} = -29.8910197392 – 15.2204153303 i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 9.64925577943$$
Данные корни
$$x_{1} = 9.64925577943$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$9.54925577943$$
=
$$9.54925577943$$
подставляем в выражение
$$frac{2^{log{left (x right )}}}{log^{2}{left (2 right )}} + frac{x^{log{left (x right )}}}{log{left (2 right )}} leq 256$$
$$frac{2^{log{left (9.54925577943 right )}}}{log^{2}{left (2 right )}} + frac{9.54925577943^{log{left (9.54925577943 right )}}}{log{left (2 right )}} leq 256$$

162.654167476473 4.77818668908569
—————- + —————-
log(2) 2 <= 256 log (2)

значит решение неравенства будет при:
$$x leq 9.64925577943$$

_____
——-•——-
x1

Читайте также  7*49^(-x^2*1/2)>=7^(x^2+5*x)*1/49
   
4.71
alinasibem
Являюсь магистром Кубанского государственного университета. Кафедры Мировой экономики и менеджмента. Имею большой опыт в написании работ по экономики и статистики, а также в решении финансовых задач.