2^log(x)*1/(log(2)^2)+x^log(x)*1/log(2)<=256

Дано

$$\frac{2^{\log{\left (x \right )}}}{\log^{2}{\left (2 \right )}} + \frac{x^{\log{\left (x \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} \leq 256$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$\frac{2^{\log{\left (x \right )}}}{\log^{2}{\left (2 \right )}} + \frac{x^{\log{\left (x \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} \leq 256$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{2^{\log{\left (x \right )}}}{\log^{2}{\left (2 \right )}} + \frac{x^{\log{\left (x \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} = 256$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{2^{\log{\left (x \right )}}}{\log^{2}{\left (2 \right )}} + \frac{x^{\log{\left (x \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} = 256$$
преобразуем
$$\frac{2^{\log{\left (x \right )}}}{\log^{2}{\left (2 \right )}} + \frac{x^{\log{\left (x \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} — 256 = 0$$
$$\frac{1}{\log^{2}{\left (2 \right )}} \left(2^{\log{\left (x \right )}} + x^{\log{\left (x \right )}} \log{\left (2 \right )} — 256 \log^{2}{\left (2 \right )}\right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (2 \right )}$$
Дано уравнение:
$$\frac{1}{w^{2}} \left(2^{\log{\left (x \right )}} — 256 w^{2} + w x^{\log{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
w^2
получим:
$$2^{\log{\left (x \right )}} — 256 w^{2} + w x^{\log{\left (x \right )}} = 0$$
$$2^{\log{\left (x \right )}} — 256 w^{2} + w x^{\log{\left (x \right )}} = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -256$$
$$b = x^{\log{\left (x \right )}}$$
$$c = 2^{\log{\left (x \right )}}$$
, то

D = b^2 — 4 * a * c =

(x^log(x))^2 — 4 * (-256) * (2^log(x)) = x^(2*log(x)) + 1024*2^log(x)

Уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{512} x^{\log{\left (x \right )}} — \frac{1}{512} \sqrt{1024 \cdot 2^{\log{\left (x \right )}} + x^{2 \log{\left (x \right )}}}$$
$$w_{2} = \frac{1}{512} x^{\log{\left (x \right )}} + \frac{1}{512} \sqrt{1024 \cdot 2^{\log{\left (x \right )}} + x^{2 \log{\left (x \right )}}}$$
делаем обратную замену
$$\log{\left (2 \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 9.64925577943$$
$$x_{2} = 4.57945844565 + 12.277657709 i$$
$$x_{3} = -29.8910197392 — 15.2204153303 i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 9.64925577943$$
Данные корни
$$x_{1} = 9.64925577943$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$9.54925577943$$
=
$$9.54925577943$$
подставляем в выражение
$$\frac{2^{\log{\left (x \right )}}}{\log^{2}{\left (2 \right )}} + \frac{x^{\log{\left (x \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} \leq 256$$
$$\frac{2^{\log{\left (9.54925577943 \right )}}}{\log^{2}{\left (2 \right )}} + \frac{9.54925577943^{\log{\left (9.54925577943 \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} \leq 256$$

162.654167476473 4.77818668908569
—————- + —————-
log(2) 2 <= 256 log (2)

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq 9.64925577943$$

_____

——-•——-
x1

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...