Дано

$$2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} geq left(x + 2right)^{frac{log{left (2 right )}}{log{left (10 right )}}}$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} geq left(x + 2right)^{frac{log{left (2 right )}}{log{left (10 right )}}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} = left(x + 2right)^{frac{log{left (2 right )}}{log{left (10 right )}}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} = left(x + 2right)^{frac{log{left (2 right )}}{log{left (10 right )}}}$$
преобразуем
$$2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} – left(x + 2right)^{frac{log{left (2 right )}}{log{left (10 right )}}} = 0$$
$$2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} – left(x + 2right)^{frac{log{left (2 right )}}{log{left (10 right )}}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (2 right )}$$
$$2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} – left(x + 2right)^{frac{w}{log{left (10 right )}}} = 0$$
или
$$2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} – left(x + 2right)^{frac{w}{log{left (10 right )}}} = 0$$
или
$$- left(x + 2right)^{frac{w}{log{left (10 right )}}} = – 2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}}$$
или
$$left(x + 2right)^{frac{w}{log{left (10 right )}}} = 2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}}$$
– это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = left(x + 2right)^{frac{w}{log{left (10 right )}}}$$
получим
$$- 2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} + v = 0$$
или
$$- 2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} + v = 0$$
делаем обратную замену
$$left(x + 2right)^{frac{w}{log{left (10 right )}}} = v$$
или
$$w = frac{log{left (v right )}}{log{left (left(x + 2right)^{frac{1}{log{left (10 right )}}} right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = frac{log{left (2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} right )}}{log{left (left(x + 2right)^{frac{1}{log{left (10 right )}}} right )}} = frac{log{left (2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} right )}}{log{left (left(x + 2right)^{frac{1}{log{left (10 right )}}} right )}}$$
делаем обратную замену
$$log{left (2 right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 3 + 2.2270230525 cdot 10^{-13} i$$
$$x_{4} = 3 – 2.26359311318 cdot 10^{-12} i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$-2.1$$
=
$$-2.1$$
подставляем в выражение
$$2^{frac{log{left (x^{2} – 4 right )}}{log{left (10 right )}}} geq left(x + 2right)^{frac{log{left (2 right )}}{log{left (10 right )}}}$$
$$2^{frac{log{left (-4 + left(-2.1right)^{2} right )}}{log{left (10 right )}}} geq left(-2.1 + 2right)^{frac{log{left (2 right )}}{log{left (10 right )}}}$$

-0.891598119283783 log(2)
—————— ——-
log(10) >= log(10)
2 -0.1

Тогда
$$x leq -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq -2 wedge x leq 3$$

_____
/
——-•——-•——-
x2 x1

   
4.86
Innulya1
Студентка университета (учусь в магистратуре) закончила одно высшее образование по специальности: государственное и муниципальное управление, готова помочь в написании работ, курсовых, контрольных, статей