Дано

$$4^{2 x} – 5 cdot 4^{x} + 4 < 0$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$4^{2 x} – 5 cdot 4^{x} + 4 < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4^{2 x} – 5 cdot 4^{x} + 4 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4^{2 x} – 5 cdot 4^{x} + 4 = 0$$
или
$$4^{2 x} – 5 cdot 4^{x} + 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v^{2} – 5 v + 4 = 0$$
или
$$v^{2} – 5 v + 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -5$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-5)^2 – 4 * (1) * (4) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 4$$
$$v_{2} = 1$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (4 right )}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
=
$$frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$4^{2 x} – 5 cdot 4^{x} + 4 < 0$$

2*9

10 9/10
4 – 5*4 + 4 < 0

4/5 3/5
4 – 10*2 + 8*2 < 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 1$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 1$$
$$x > 4$$

Ответ
$$0 < x wedge x < 1$$
Ответ №2

(0, 1)

$$x in left(0, 1right)$$
   
4.92
IVN16
Работы пишу более 7 лет. Имею два высших образования: экономическое и юридическое. Опыт работы в финансовой сфере 10 лет. Работала на всех участках бухгалтерского учёта. Сейчас занимаюсь финансовым аанализом и контролем фхд!