|4*x-1|

$$left|{4 x – 1}right| < 9$$

Дано неравенство:
$$left|{4 x – 1}right| < 9$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left|{4 x – 1}right| = 9$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение “>= 0” или “< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$4 x – 1 geq 0$$
или
$$frac{1}{4} leq x wedge x < infty$$
получаем ур-ние
$$4 x – 1 – 9 = 0$$
упрощаем, получаем
$$4 x – 10 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = frac{5}{2}$$

2.
$$4 x – 1 < 0$$
или
$$-infty < x wedge x < frac{1}{4}$$
получаем ур-ние
$$- 4 x + 1 – 9 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 4 x – 8 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -2$$

$$x_{1} = frac{5}{2}$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = frac{5}{2}$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = frac{5}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
=
$$- frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$left|{4 x – 1}right| < 9$$
$$left|{frac{-84}{10} 1 – 1}right| < 9$$

47/5 < 9

но

47/5 > 9

Тогда
$$x < -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -2 wedge x < frac{5}{2}$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

$$-2 < x wedge x < frac{5}{2}$$

(-2, 5/2)

$$x in left(-2, frac{5}{2}right)$$