9^x-7*3^x-18<0

Дано

$$- 7 \cdot 3^{x} + 9^{x} — 18 < 0$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$- 7 \cdot 3^{x} + 9^{x} — 18 < 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 7 \cdot 3^{x} + 9^{x} — 18 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 7 \cdot 3^{x} + 9^{x} — 18 = 0$$
или
$$- 7 \cdot 3^{x} + 9^{x} — 18 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v^{2} — 7 v — 18 = 0$$
или
$$v^{2} — 7 v — 18 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -7$$
$$c = -18$$
, то

D = b^2 — 4 * a * c =

(-7)^2 — 4 * (1) * (-18) = 121

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 9$$
$$v_{2} = -2$$
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 9$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 7 \cdot 3^{x} + 9^{x} — 18 < 0$$

1 7
— — — — 18 < 0 21 21 -- -- 10 10 9 3

9/10 4/5
7*3 3
-18 — ——- + —- < 0 27 243

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -2$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -2$$
$$x > 9$$

Ответ
Читайте также  log(x+3)*1/log(49)-log(x+2)*1/log(7)<0
$$-\infty < x \wedge x < 2$$
Ответ №2

(-oo, 2)

$$x \in \left(-\infty, 2\right)$$
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...