Дано

$$frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (2 x right )}} > frac{log{left (32 x right )}}{log{left (2 right )}} – 1$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (2 x right )}} > frac{log{left (32 x right )}}{log{left (2 right )}} – 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (2 x right )}} = frac{log{left (32 x right )}}{log{left (2 right )}} – 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (2 x right )}} = frac{log{left (32 x right )}}{log{left (2 right )}} – 1$$
преобразуем
$$- frac{log^{2}{left (x right )} + log{left (32 right )} log{left (x right )} + 6 log^{2}{left (2 right )}}{left(log{left (x right )} + log{left (2 right )}right) log{left (2 right )}} = 0$$
$$- frac{1}{log{left (2 right )}} left(log{left (x right )} + log{left (32 right )}right) + 1 – frac{log{left (4 right )}}{log{left (x right )} + log{left (2 right )}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x right )}$$
Дано уравнение:
$$- frac{w + log{left (32 right )}}{log{left (2 right )}} + 1 – frac{log{left (4 right )}}{w + log{left (2 right )}} = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
log(2) и w + log(2)
получим:
$$left(- frac{w + log{left (32 right )}}{log{left (2 right )}} + 1 – frac{log{left (4 right )}}{w + log{left (2 right )}}right) log{left (2 right )} = 0$$
$$- frac{1}{w + log{left (2 right )}} left(w^{2} + w log{left (32 right )} + 6 log^{2}{left (2 right )}right) = 0$$
$$- frac{1}{w + log{left (2 right )}} left(w^{2} + w log{left (32 right )} + 6 log^{2}{left (2 right )}right) left(w + log{left (2 right )}right) = 0 left(w + log{left (2 right )}right)$$
$$- w^{2} – 5 w log{left (2 right )} – 6 log^{2}{left (2 right )} = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = – 5 log{left (2 right )}$$
$$c = – 6 log^{2}{left (2 right )}$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-5*log(2))^2 – 4 * (-1) * (-6*log(2)^2) = log(2)^2

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = – 3 log{left (2 right )}$$
$$w_{2} = – 2 log{left (2 right )}$$
делаем обратную замену
$$log{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x right )} = w$$
$$log{left (x right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w

1
x = e

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{1}{8}$$
$$x_{2} = frac{1}{4}$$
$$x_{1} = frac{1}{8}$$
$$x_{2} = frac{1}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{8}$$
$$x_{2} = frac{1}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{1}{40}$$
=
$$frac{1}{40}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (2 x right )}} > frac{log{left (32 x right )}}{log{left (2 right )}} – 1$$
$$frac{log{left (frac{1}{4} right )}}{log{left (frac{2}{40} right )}} > -1 + frac{log{left (frac{32}{40} right )}}{log{left (2 right )}}$$

log(4) -log(5) + log(4)
——- > -1 + —————-
log(20) log(2)

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < frac{1}{8}$$

_____ _____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < frac{1}{8}$$
$$x > frac{1}{4}$$

Ответ
Читайте также  log(-x^2+8*x-7)*1/log(x-1)-(log(x-7)^2*1/log(x-1))^2/16>=2
$$left(-infty < x wedge x < frac{1}{8}right) vee left(frac{1}{4} < x wedge x < frac{1}{2}right)$$
Ответ №2

(-oo, 1/8) U (1/4, 1/2)

$$x in left(-infty, frac{1}{8}right) cup left(frac{1}{4}, frac{1}{2}right)$$
   
4.92
user533418
Большой опыт в выполнении курсовых, контрольных и других видов работ. Ответственна и пунктуальна. Всегда на связи.