Дано

$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 15 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 3 right )}} > 3$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 15 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 3 right )}} > 3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 15 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 3 right )}} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 15 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 3 right )}} = 3$$
преобразуем
$$-3 + frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 15 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 3 right )}} = 0$$
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 15 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 3 right )}} – 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (x + 15 right )}$$
Дано уравнение:
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 15 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 3 right )}} – 3 = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = log(4)

b1 = log(15 + x)

a2 = 1

b2 = 1/(3 – log(4)/log(3 + x))

зн. получим ур-ние
$$frac{log{left (4 right )}}{3 – frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 3 right )}}} = log{left (x + 15 right )}$$
$$frac{log{left (4 right )}}{3 – frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 3 right )}}} = log{left (x + 15 right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

log43+log+4log3+x) = log(15 + x)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

log43+log+4log3+x) = log15+x

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$log{left (x + 15 right )} = w$$
Дано уравнение
$$log{left (x + 15 right )} = w$$
$$log{left (x + 15 right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

w

1
x + 15 = e

упрощаем
$$x + 15 = e^{w}$$
$$x = e^{w} – 15$$
подставляем w:
$$x_{1} = -1.24758083758$$
$$x_{1} = -1.24758083758$$
Данные корни
$$x_{1} = -1.24758083758$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$-1.34758083758$$
=
$$-1.34758083758$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 15 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (x + 3 right )}} > 3$$
$$frac{log{left (4 right )}}{log{left (-1.34758083758 + 15 right )}} + frac{log{left (4 right )}}{log{left (-1.34758083758 + 3 right )}} > 3$$

2.3736461390951*log(4) > 3

значит решение неравенства будет при:
$$x < -1.24758083758$$

_____
——-ο——-
x1

   
4.9
user2087335
Оконченное высшее образование по направлениям Юриспруденция и Социальная педагогика. Большой опыт в написании контрольных работ и рефератов.