log(5*x)-2

$$log{left (5 x right )} – 2 leq 0$$

Дано неравенство:
$$log{left (5 x right )} – 2 leq 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$log{left (5 x right )} – 2 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$log{left (5 x right )} – 2 = 0$$
$$log{left (5 x right )} = 2$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$5 x = e^{2}$$
упрощаем
$$5 x = e^{2}$$
$$x = frac{e^{2}}{5}$$
$$x_{1} = frac{e^{2}}{5}$$
$$x_{1} = frac{e^{2}}{5}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{e^{2}}{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{e^{2}}{5}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{e^{2}}{5}$$
подставляем в выражение
$$log{left (5 x right )} – 2 leq 0$$
$$-2 + log{left (5 left(- frac{1}{10} + frac{e^{2}}{5}right) right )} leq 0$$

/ 1 2
-2 + log|- – + e | <= 0 2 /

значит решение неравенства будет при:
$$x leq frac{e^{2}}{5}$$

_____
——-•——-
x1

$$x leq frac{e^{2}}{5} wedge -infty < x$$

2
e
(-oo, –]
5

$$x in left(-infty, frac{e^{2}}{5}right]$$