Дано

$$sin^{2}{left (x right )} – 4 sin{left (x right )} < 0$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$sin^{2}{left (x right )} – 4 sin{left (x right )} < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sin^{2}{left (x right )} – 4 sin{left (x right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sin^{2}{left (x right )} – 4 sin{left (x right )} = 0$$
преобразуем
$$left(sin{left (x right )} – 4right) sin{left (x right )} = 0$$
$$sin^{2}{left (x right )} – 4 sin{left (x right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = sin{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-4)^2 – 4 * (1) * (0) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 4$$
$$w_{2} = 0$$
делаем обратную замену
$$sin{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$sin{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
Или
$$x = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$x = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 pi n + {asin}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = 2 pi n + {asin}{left (4 right )}$$
$$x_{1} = 2 pi n + {asin}{left (4 right )}$$
$$x_{2} = 2 pi n + {asin}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = 2 pi n + {asin}{left (0 right )}$$
$$x_{2} = 2 pi n$$
$$x_{3} = 2 pi n – {asin}{left (w_{1} right )} + pi$$
$$x_{3} = 2 pi n + pi – {asin}{left (4 right )}$$
$$x_{3} = 2 pi n + pi – {asin}{left (4 right )}$$
$$x_{4} = 2 pi n – {asin}{left (w_{2} right )} + pi$$
$$x_{4} = 2 pi n – {asin}{left (0 right )} + pi$$
$$x_{4} = 2 pi n + pi$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
$$x_{3} = pi – {asin}{left (4 right )}$$
$$x_{4} = {asin}{left (4 right )}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$sin^{2}{left (x right )} – 4 sin{left (x right )} < 0$$

2
sin (-1/10) – 4*sin(-1/10) < 0

2
sin (1/10) + 4*sin(1/10) < 0

но

2
sin (1/10) + 4*sin(1/10) > 0

Тогда
$$x < 0$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 0 wedge x < pi$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2

Ответ
Читайте также  log(2)*1/log(x)
$$0 < x wedge x < pi$$
Ответ №2

(0, pi)

$$x in left(0, piright)$$
   
4.4
user987943
Окончила университет с отличием по уголовной специализации, хорошо разбираюсь в данной сфере. Помогу с написанием курсовых, контрольных,дипломных работ, решением зада. Имею большой опыт в этом.