На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Дано дифференциальное уравнение второго порядка: x” + 2x’ + 4 = 0, где x” обозначает вторую производную x по времени, x’ обозначает первую производную x по времени.
Для решения этого уравнения используем метод характеристического уравнения. Предполагаем решение в виде x = e^rt, где r является неизвестной.
1. Находим первую и вторую производные от x:
x’ = r*e^rt
x” = r^2*e^rt
2. Подставляем полученные значения в исходное уравнение:
r^2*e^rt + 2*r*e^rt + 4 = 0
3. Делим уравнение на e^rt:
r^2 + 2r + 4 = 0
4. Решаем полученное квадратное уравнение относительно r. Для этого используем квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0:
Получаем квадратное уравнение r^2 + 2r + 4 = 0. Решая его, получаем два комплексных корня: r = -1 + i√3 и r = -1 – i√3.
5. Подставляем найденные значения r в выражение для x = e^rt:
x1 = e^(-t)*(cos(√3t) + i*sin(√3t))
x2 = e^(-t)*(cos(√3t) – i*sin(√3t))
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения x” + 2x’ + 4 = 0:
x(t) = C1*e^(-t)*(cos(√3t) + i*sin(√3t)) + C2*e^(-t)*(cos(√3t) – i*sin(√3t)), где C1 и C2 – произвольные постоянные.
