Дано

$$left|{x^{2} – 7 x + 3}right| leq 3$$
Подробное решение
Дано неравенство:
$$left|{x^{2} – 7 x + 3}right| leq 3$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left|{x^{2} – 7 x + 3}right| = 3$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение “>= 0” или “< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x^{2} – 7 x + 3 geq 0$$
или
$$left(x leq – frac{sqrt{37}}{2} + frac{7}{2} wedge -infty < xright) vee left(frac{sqrt{37}}{2} + frac{7}{2} leq x wedge x < inftyright)$$
получаем ур-ние
$$x^{2} – 7 x + 3 – 3 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} – 7 x = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 7$$

2.
$$x^{2} – 7 x + 3 < 0$$
или
$$x < frac{sqrt{37}}{2} + frac{7}{2} wedge - frac{sqrt{37}}{2} + frac{7}{2} < x$$
получаем ур-ние
$$- x^{2} – – 7 x – 3 – 3 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} + 7 x – 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 6$$

$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 6$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 6$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 6$$
$$x_{2} = 7$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$left|{x^{2} – 7 x + 3}right| leq 3$$

| 2 7*(-1) |
|-1/10 – —— + 3| <= 3 | 10 |

371
— <= 3 100

но

371
— >= 3
100

Тогда
$$x leq 0$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 0 wedge x leq 1$$

_____ _____
/ /
——-•——-•——-•——-•——-
x1 x3 x4 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x geq 0 wedge x leq 1$$
$$x geq 6 wedge x leq 7$$

Ответ
$$left(0 leq x wedge x leq 1right) vee left(6 leq x wedge x leq 7right)$$
Ответ №2

[0, 1] U [6, 7]

$$x in left[0, 1right] cup left[6, 7right]$$
   
4.18
Vypusk05
Я студент, учусь на последнем курсе. Выполняю контрольные, решаю задачи, пишу доклады по юриспруденции, а также по гуманитарной сфере. Кроме того, переводы тексты с английского на русский.