На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Дано неравенство:
((16^x – 4^x+1 – 3)/(4^x – 1 – 1)) + 20/(4^x – 6) <= 4^x+1. Чтобы решить это неравенство, нужно выполнить следующие шаги: 1. Замена переменной. Обозначим 4^x за a. Тогда неравенство преобразуется следующим образом: ((a^2 - a - 3)/(a - 1)) + 20/(a - 6) <= a^2. 2. Упрощение. Выполним упрощение сложности. Для сокращения дробей, умножим обе стороны на (a - 1)(a - 6), получим: (a^2 - a - 3)(a - 6) + 20(a - 1) <= a^3(a - 6)(a - 1). 3. Раскрытие скобок. Раскроем скобки и сгруппируем все слагаемые в одном члене: a^3 - 6a^2 - a^2 + 6a - 3a + 18 + 20a - 20 <= a^4 - 7a^3 + 6a^2 + a^3 - 6a^2 + 42a - a^2 + 6a - 36a + 36. 4. Упрощение. Выполним слияние подобных членов и сокращение: -a^3 - a^2 + 19a - 2 <= a^4 - 7a^3 + 5a^2 + 48a + 36. 5. Перенос всех членов на одну сторону неравенства: a^4 - 6a^3 + 6a^2 + 29a + 38 >= 0.
6. Факторизация. Попытаемся факторизовать полученное выражение. Подберем два целых числа, чья сумма равна -6 и произведение равно 38. Эти числа: -2 и -4. Факторизуем:
(a^2 – 2a – 4)(a^2 – 4a – 9) >= 0.
7. Поиск интервалов. Решим каждое уравнение в скобках по-отдельности:
a^2 – 2a – 4 >= 0 и a^2 – 4a – 9 >= 0.
8. Решение квадратных уравнений. Решим каждое квадратное уравнение, используя метод дискриминанта:
Для первого уравнения, D = (-2)^2 – 4*1*(-4) = 24. Так как D > 0, то это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня.
Для второго уравнения, D = (-4)^2 – 4*1*(-9) = 52. Так как D > 0, то это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня.
9. Построение числовой прямой. Нарисуем числовую прямую и отметим на ней корни уравнений a^2 – 2a – 4 = 0 и a^2 – 4a – 9 = 0.
10. Определение знаков на интервалах. Определим знаки на интервалах числовой прямой, включая корни уравнений:
Для первого уравнения, a^2 – 2a – 4 >= 0:
-∞ -2 2 +∞.
Знак “-” на интервале (-∞, -2) и на интервале (2, +∞), и знак “+” на интервале (-2,2).
Для второго уравнения, a^2 – 4a – 9 >= 0:
-∞ -1 3 +∞.
Знак “+” на интервале (-∞, -1) и на интервале (3, +∞), и знак “-” на интервале (-1,3).
11. Решение неравенства. По определению знаков интервалов, неравенство выполняется на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞), где знак “<=" означает "меньше или равно". Значит, решение исходного неравенства это интервал: (-∞, -2) и (2, +∞). Таким образом, получено решение данного неравенства. Значения x, соответствующие интервалам (-∞, -2) и (2, +∞), удовлетворяют исходному неравенству.
