3*9^x-1-5*3^x+12=0

Дано

$$- 5 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} — 1 + 12 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение:
$$- 5 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} — 1 + 12 = 0$$
или
$$- 5 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} — 1 + 12 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$3 v^{2} — 5 v + 11 = 0$$
или
$$3 v^{2} — 5 v + 11 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = -5$$
$$c = 11$$
, то

D = b^2 — 4 * a * c =

(-5)^2 — 4 * (3) * (11) = -107

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{107} i}{6}$$
$$v_{2} = \frac{5}{6} — \frac{\sqrt{107} i}{6}$$
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left (\frac{5}{6} — \frac{\sqrt{107} i}{6} \right )}}{\log{\left (3 \right )}} = \frac{\log{\left (\frac{5}{6} — \frac{\sqrt{107} i}{6} \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left (\frac{5}{6} + \frac{\sqrt{107} i}{6} \right )}}{\log{\left (3 \right )}} = \frac{\log{\left (\frac{5}{6} + \frac{\sqrt{107} i}{6} \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...