Дано

$$left(x – 4right)^{5} = -32$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$left(x – 4right)^{5} = -32$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[5]{left(x – 4right)^{5}} = sqrt[5]{-32}$$
или
$$x – 4 = 2 sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-4 + x = -2*1^1/5

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 4 + 2 sqrt[5]{-1}$$
Получим ответ: x = 4 + 2*(-1)^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x – 4$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = -32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -32$$
где
$$r = 2$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (5 p right )} + cos{left (5 p right )} = -1$$
значит
$$cos{left (5 p right )} = -1$$
и
$$sin{left (5 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{5} N + frac{pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = frac{1}{2} + frac{sqrt{5}}{2} + 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = – frac{sqrt{5}}{2} + frac{1}{2} – sqrt{5} i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} – i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = frac{1}{2} + 2 sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} – frac{sqrt{5} i}{2} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} – frac{i}{2} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} – frac{i}{2} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} + frac{sqrt{5} i}{2} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = – 2 sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} + frac{1}{2} – frac{i}{2} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} + frac{i}{2} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} + frac{sqrt{5} i}{2} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} + frac{sqrt{5} i}{2} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x – 4$$
$$x = z + 4$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = frac{sqrt{5}}{2} + frac{9}{2} + 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = – frac{sqrt{5}}{2} + frac{9}{2} – sqrt{5} i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} – i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = 2 sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} + frac{9}{2} – frac{sqrt{5} i}{2} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} – frac{i}{2} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} – frac{i}{2} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} + frac{sqrt{5} i}{2} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = – 2 sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} + frac{9}{2} – frac{i}{2} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} + frac{i}{2} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} + frac{sqrt{5} i}{2} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} + frac{sqrt{5} i}{2} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$

Ответ
Читайте также  (180^k+3)/(6^(2*k+3))*(5^k+1)
$$x_{1} = 2$$

_____________
/ ___ ___
9 / 5 / 5 / 5
x2 = – – 2* / – – – —– – —–
2 / 8 8 2

$$x_{2} = – frac{sqrt{5}}{2} + frac{9}{2} – 2 sqrt{- frac{5}{8} – frac{sqrt{5}}{8}}$$

_____________
/ ___ ___
9 / 5 / 5 / 5
x3 = – + 2* / – – – —– – —–
2 / 8 8 2

$$x_{3} = – frac{sqrt{5}}{2} + frac{9}{2} + 2 sqrt{- frac{5}{8} – frac{sqrt{5}}{8}}$$

_____________
___ / ___
9 / 5 / 5 / 5
x4 = – + —– – 2* / – – + —–
2 2 / 8 8

$$x_{4} = frac{sqrt{5}}{2} + frac{9}{2} – 2 sqrt{- frac{5}{8} + frac{sqrt{5}}{8}}$$

_____________
___ / ___
9 / 5 / 5 / 5
x5 = – + —– + 2* / – – + —–
2 2 / 8 8

$$x_{5} = frac{sqrt{5}}{2} + frac{9}{2} + 2 sqrt{- frac{5}{8} + frac{sqrt{5}}{8}}$$
Численный ответ

x1 = 3.38196601125 – 1.90211303259*i

x2 = 2.00000000000000

x3 = 5.61803398875 – 1.17557050458*i

x4 = 3.38196601125 + 1.90211303259*i

x5 = 5.61803398875 + 1.17557050458*i

   
5.0
user575492
Я - кандидат философских наук, доцент кафедры философии СГЮА. Занимаюсь написанием различного рода работ (научные статьи, курсовые, дипломные работы, магистерские диссертации, рефераты, контрольные) уже много лет. Качество работ гарантирую.