Дано

$$x^{4} + 6 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{4} + 6 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -6 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = -6$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -6$$
где
$$r = sqrt[4]{6}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (4 p right )} + cos{left (4 p right )} = -1$$
значит
$$cos{left (4 p right )} = -1$$
и
$$sin{left (4 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{2} + frac{pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = – frac{2^{frac{3}{4}} sqrt[4]{3}}{2} – frac{2^{frac{3}{4}} i}{2} sqrt[4]{3}$$
$$z_{2} = – frac{2^{frac{3}{4}} sqrt[4]{3}}{2} + frac{2^{frac{3}{4}} i}{2} sqrt[4]{3}$$
$$z_{3} = frac{2^{frac{3}{4}} sqrt[4]{3}}{2} – frac{2^{frac{3}{4}} i}{2} sqrt[4]{3}$$
$$z_{4} = frac{2^{frac{3}{4}} sqrt[4]{3}}{2} + frac{2^{frac{3}{4}} i}{2} sqrt[4]{3}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – frac{2^{frac{3}{4}} sqrt[4]{3}}{2} – frac{2^{frac{3}{4}} i}{2} sqrt[4]{3}$$
$$x_{2} = – frac{2^{frac{3}{4}} sqrt[4]{3}}{2} + frac{2^{frac{3}{4}} i}{2} sqrt[4]{3}$$
$$x_{3} = frac{2^{frac{3}{4}} sqrt[4]{3}}{2} – frac{2^{frac{3}{4}} i}{2} sqrt[4]{3}$$
$$x_{4} = frac{2^{frac{3}{4}} sqrt[4]{3}}{2} + frac{2^{frac{3}{4}} i}{2} sqrt[4]{3}$$

Ответ

Данное ур-ние не имеет решений

Численный ответ

x1 = 1.1066819197 – 1.1066819197*i

x2 = -1.1066819197 – 1.1066819197*i

x3 = -1.1066819197 + 1.1066819197*i

x4 = 1.1066819197 + 1.1066819197*i

Читайте также  10/x+6=1
   
4.56
Mariia24
Занималась выполнением курсовых работ, рефератов, контрольных работ и т.д. во время обучения. Закончила университет в июле 2016 года. Могу помочь в написании разнообразных работ на многие темы.