x^4-x^2+1=0

Дано

$$x^{4} — x^{2} + 1 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение:
$$x^{4} — x^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} — v + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 — 4 * a * c =

(-1)^2 — 4 * (1) * (1) = -3

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$v_{2} = \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = — \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = — \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = $$

_____________
/ ___
/ 1 I*/ 3 _____________
2 / — + ——- / ___
/ 2 2 / 1 I*/ 3
—————— = / — + ——-
1 / 2 2

$$x_{2} = $$

_____________
/ ___
/ 1 I*/ 3 _____________
-2 / — + ——- / ___
/ 2 2 / 1 I*/ 3
——————— = — / — + ——-
1 / 2 2

$$x_{3} = $$

_____________
/ ___
/ 1 I*/ 3 _____________
2 / — — ——- / ___
/ 2 2 / 1 I*/ 3
—————— = / — — ——-
1 / 2 2

$$x_{4} = $$

_____________
/ ___
/ 1 I*/ 3 _____________
-2 / — — ——- / ___
/ 2 2 / 1 I*/ 3
——————— = — / — — ——-
1 / 2 2

Ответ
Читайте также  x+(x/4)=32
$$x_{1} = — \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{i}{2}$$

___
I / 3
x2 = — — ——
2 2

$$x_{2} = — \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

___
/ 3 I
x3 = —— — —
2 2

$$x_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{i}{2}$$

___
I / 3
x4 = — + ——
2 2

$$x_{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Численный ответ

x1 = 0.866025403784 — 0.5*i

x2 = -0.866025403784 — 0.5*i

x3 = 0.866025403784 + 0.5*i

x4 = -0.866025403784 + 0.5*i

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...