x^4=1/81

$$x^{4} = frac{1}{81}$$

Дано уравнение
$$x^{4} = frac{1}{81}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 – содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[4]{x^{4}} = sqrt[4]{frac{1}{81}}$$
$$sqrt[4]{x^{4}} = frac{-1}{3}$$
или
$$x = frac{1}{3}$$
$$x = – frac{1}{3}$$
Получим ответ: x = 1/3
Получим ответ: x = -1/3
или
$$x_{1} = – frac{1}{3}$$
$$x_{2} = frac{1}{3}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = frac{1}{81}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = frac{1}{81}$$
где
$$r = frac{1}{3}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (4 p right )} + cos{left (4 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (4 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (4 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = – frac{1}{3}$$
$$z_{2} = frac{1}{3}$$
$$z_{3} = – frac{i}{3}$$
$$z_{4} = frac{i}{3}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – frac{1}{3}$$
$$x_{2} = frac{1}{3}$$
$$x_{3} = – frac{i}{3}$$
$$x_{4} = frac{i}{3}$$

$$x_{1} = – frac{1}{3}$$

x2 = 1/3

$$x_{2} = frac{1}{3}$$

-I
x3 = —
3

$$x_{3} = – frac{i}{3}$$

I
x4 = –
3

$$x_{4} = frac{i}{3}$$

x1 = -0.333333333333000

x2 = 0.333333333333*i

x3 = 0.333333333333000

x4 = -0.333333333333*i