Дано

$$x^{4} = 225$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{4} = 225$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 – содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[4]{x^{4}} = sqrt[4]{225}$$
$$sqrt[4]{x^{4}} = -1 sqrt[4]{225}$$
или
$$x = sqrt{15}$$
$$x = – sqrt{15}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = sqrt15

Получим ответ: x = sqrt(15)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -sqrt15

Получим ответ: x = -sqrt(15)
или
$$x_{1} = – sqrt{15}$$
$$x_{2} = sqrt{15}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 225$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 225$$
где
$$r = sqrt{15}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (4 p right )} + cos{left (4 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (4 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (4 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = – sqrt{15}$$
$$z_{2} = sqrt{15}$$
$$z_{3} = – sqrt{15} i$$
$$z_{4} = sqrt{15} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – sqrt{15}$$
$$x_{2} = sqrt{15}$$
$$x_{3} = – sqrt{15} i$$
$$x_{4} = sqrt{15} i$$

Ответ
$$x_{1} = – sqrt{15}$$

____
x2 = / 15

$$x_{2} = sqrt{15}$$

____
x3 = -I*/ 15

$$x_{3} = – sqrt{15} i$$

____
x4 = I*/ 15

$$x_{4} = sqrt{15} i$$
Численный ответ

x1 = 3.87298334621000

x2 = -3.87298334621000

x3 = -3.87298334621*i

x4 = 3.87298334621*i

Читайте также  tan(pi*x/4)=-1
   
5.0
avrprog
Занимаюсь созданием сайтов, разработкой устройств на микроконтроллерах avr, пишу на языке Си. Пишу рефераты, контрольные работы, расчетные работы по электротехнике, электронике, радиотехнике, транспортным средствам,