Дано

$$x^{5} – 32 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{5} – 32 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[5]{x^{5}} = sqrt[5]{32}$$
или
$$x = 2$$
Получим ответ: x = 2

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 32$$
где
$$r = 2$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (5 p right )} + cos{left (5 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (5 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (5 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{5} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{5}}{2} – 2 i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{5}}{2} + 2 i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = – frac{sqrt{5}}{2} – frac{1}{2} – 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = – frac{sqrt{5}}{2} – frac{1}{2} + 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{5}}{2} – 2 i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{5}}{2} + 2 i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = – frac{sqrt{5}}{2} – frac{1}{2} – 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = – frac{sqrt{5}}{2} – frac{1}{2} + 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$

Ответ
$$x_{1} = 2$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
x2 = – – + —– – 2*I* / – + —–
2 2 / 8 8

$$x_{2} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{5}}{2} – 2 i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
x3 = – – + —– + 2*I* / – + —–
2 2 / 8 8

$$x_{3} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{5}}{2} + 2 i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
Читайте также  (3*x+5)/4=x+1

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
x4 = – – – —– – 2*I* / – – —–
2 2 / 8 8

$$x_{4} = – frac{sqrt{5}}{2} – frac{1}{2} – 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
x5 = – – – —– + 2*I* / – – —–
2 2 / 8 8

$$x_{5} = – frac{sqrt{5}}{2} – frac{1}{2} + 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
Численный ответ

x1 = 0.61803398875 – 1.90211303259*i

x2 = 2.00000000000000

x3 = -1.61803398875 – 1.17557050458*i

x4 = 0.61803398875 + 1.90211303259*i

x5 = -1.61803398875 + 1.17557050458*i

   
4.9
АэцийФлавий
Сфера научных интересов Ближний Восток. Работаю по многим предметам, но моя специализация - история и политология в первую очередь. (Как история России,так и всемирная). Рефераты,курсовые и контрольные. Но любимый жанр - творческие эссе.