Дано

$$x^{6} + 125 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{6} + 125 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -125 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = -125$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -125$$
где
$$r = sqrt{5}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (6 p right )} + cos{left (6 p right )} = -1$$
значит
$$cos{left (6 p right )} = -1$$
и
$$sin{left (6 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{3} + frac{pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = – sqrt{5} i$$
$$z_{2} = sqrt{5} i$$
$$z_{3} = – frac{sqrt{15}}{2} – frac{sqrt{5} i}{2}$$
$$z_{4} = – frac{sqrt{15}}{2} + frac{sqrt{5} i}{2}$$
$$z_{5} = frac{sqrt{15}}{2} – frac{sqrt{5} i}{2}$$
$$z_{6} = frac{sqrt{15}}{2} + frac{sqrt{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – sqrt{5} i$$
$$x_{2} = sqrt{5} i$$
$$x_{3} = – frac{sqrt{15}}{2} – frac{sqrt{5} i}{2}$$
$$x_{4} = – frac{sqrt{15}}{2} + frac{sqrt{5} i}{2}$$
$$x_{5} = frac{sqrt{15}}{2} – frac{sqrt{5} i}{2}$$
$$x_{6} = frac{sqrt{15}}{2} + frac{sqrt{5} i}{2}$$

Ответ

Данное ур-ние не имеет решений

Численный ответ

x1 = 1.9364916731 + 1.11803398875*i

x2 = -1.9364916731 + 1.11803398875*i

x3 = 1.9364916731 – 1.11803398875*i

x4 = -2.2360679775*i

x5 = -1.9364916731 – 1.11803398875*i

x6 = 2.2360679775*i

Читайте также  (3*cos(8*x)+8*cos(6*x)-12*cos(4*x)-72*cos(2*x))*1/384 если x=2 (упростите выражение)
   
4.48
user814242
Я хочу помочь Вам с написанием контрольных и курсовых работ по экономическим и юридическим предметам, решением задач по бух. учету, составлением отчетов по практике. О себе: работающий специалист с экономическим и юридическим стажем