Дано

$$y^{6} – y = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$y^{6} – y = 0$$
Очевидно:

y0 = 0

далее,
преобразуем
$$frac{1}{y^{5}} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -5 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$frac{1}{sqrt[5]{frac{1}{y^{5}}}} = frac{1}{sqrt[5]{1}}$$
или
$$y = 1$$
Получим ответ: y = 1

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$frac{1}{z^{5}} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$frac{1}{r^{5}} e^{- 5 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i sin{left (5 p right )} + cos{left (5 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (5 p right )} = 1$$
и
$$- sin{left (5 p right )} = 0$$
тогда
$$p = – frac{2 pi}{5} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = – frac{1}{4} + frac{sqrt{5}}{4} – i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = – frac{1}{4} + frac{sqrt{5}}{4} + i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = – frac{sqrt{5}}{4} – frac{1}{4} – i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = – frac{sqrt{5}}{4} – frac{1}{4} + i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Тогда, окончательный ответ:

y0 = 0

$$y_{1} = 1$$
$$y_{2} = – frac{1}{4} + frac{sqrt{5}}{4} – i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$y_{3} = – frac{1}{4} + frac{sqrt{5}}{4} + i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$y_{4} = – frac{sqrt{5}}{4} – frac{1}{4} – i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$y_{5} = – frac{sqrt{5}}{4} – frac{1}{4} + i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$

Ответ
$$y_{1} = 0$$

y2 = 1

$$y_{2} = 1$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
y3 = – – + —– – I* / – + —–
4 4 / 8 8

$$y_{3} = – frac{1}{4} + frac{sqrt{5}}{4} – i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
y4 = – – + —– + I* / – + —–
4 4 / 8 8

$$y_{4} = – frac{1}{4} + frac{sqrt{5}}{4} + i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
Читайте также  a+300=800-100

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
y5 = – – – —– – I* / – – —–
4 4 / 8 8

$$y_{5} = – frac{sqrt{5}}{4} – frac{1}{4} – i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
y6 = – – – —– + I* / – – —–
4 4 / 8 8

$$y_{6} = – frac{sqrt{5}}{4} – frac{1}{4} + i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
Численный ответ

y1 = 0.309016994375 – 0.951056516295*i

y2 = 1.00000000000000

y3 = -0.809016994375 + 0.587785252292*i

y4 = -0.809016994375 – 0.587785252292*i

y5 = 0.0

y6 = 0.309016994375 + 0.951056516295*i

   
4.5
kristina2212
решение задач от 100 руб Рефераты от 400 руб Контрольные работы от 450 руб Практика - от 1000 Ответы на вопросы - от 200 руб Курсовая работа - от 1000 руб Дипломная работа - от 5000 руб Все зависит от объема и % уникальности