y^6-y=0

Дано

$$y^{6} — y = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$y^{6} — y = 0$$
Очевидно:

y0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{y^{5}} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -5 — не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[5]{\frac{1}{y^{5}}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{1}}$$
или
$$y = 1$$
Получим ответ: y = 1

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{5}} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{1}{r^{5}} e^{- 5 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
— модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left (5 p \right )} + \cos{\left (5 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (5 p \right )} = 1$$
и
$$- \sin{\left (5 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = — \frac{2 \pi}{5} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} — i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} — i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Читайте также  (12*x^17)/(t^5-1)

Тогда, окончательный ответ:

y0 = 0

$$y_{1} = 1$$
$$y_{2} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} — i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$y_{3} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$y_{4} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} — i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$y_{5} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Ответ
$$y_{1} = 0$$

y2 = 1

$$y_{2} = 1$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
y3 = — — + —— — I* / — + ——
4 4 / 8 8

$$y_{3} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} — i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
Читайте также  cos(3*x)*cos(2*x)=0

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
y4 = — — + —— + I* / — + ——
4 4 / 8 8

$$y_{4} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
y5 = — — — —— — I* / — — ——
4 4 / 8 8

$$y_{5} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} — i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
y6 = — — — —— + I* / — — ——
4 4 / 8 8

$$y_{6} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
Читайте также  x+a=1
Численный ответ

y1 = 0.309016994375 — 0.951056516295*i

y2 = 1.00000000000000

y3 = -0.809016994375 + 0.587785252292*i

y4 = -0.809016994375 — 0.587785252292*i

y5 = 0.0

y6 = 0.309016994375 + 0.951056516295*i

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...