Дано

$$z^{3} = 3 – 5 i$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{3} = 3 – 5 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{z^{3}} = sqrt[3]{3 – 5 i}$$
или
$$z = sqrt[3]{3 – 5 i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 3+5*i^1/3

Получим ответ: z = (3 – 5*i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 3 – 5 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 3 – 5 i$$
где
$$r = sqrt[6]{34}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = frac{sqrt{34}}{34} left(3 – 5 iright)$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = frac{sqrt{34}}{34} left(3 – 5 iright)$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = frac{3 sqrt{34}}{34}$$
и
$$sin{left (3 p right )} = – frac{5 sqrt{34}}{34}$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N – frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = sqrt[6]{34} cos{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} – sqrt[6]{34} i sin{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )}$$
$$w_{2} = – frac{sqrt[6]{34}}{2} cos{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} – frac{sqrt{3} sqrt[6]{34}}{2} sin{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{34} cos{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} + frac{sqrt[6]{34} i}{2} sin{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )}$$
$$w_{3} = – frac{sqrt[6]{34}}{2} cos{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} + frac{sqrt{3} sqrt[6]{34}}{2} sin{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} + frac{sqrt[6]{34} i}{2} sin{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{34} cos{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Читайте также  (2*sin(70)^2-1)*1/((2*cot(115*c)*o*s*x^2155)^1) если x=1 (упростите выражение)

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = sqrt[6]{34} cos{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} – sqrt[6]{34} i sin{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )}$$
$$z_{2} = – frac{sqrt[6]{34}}{2} cos{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} – frac{sqrt{3} sqrt[6]{34}}{2} sin{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{34} cos{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} + frac{sqrt[6]{34} i}{2} sin{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )}$$
$$z_{3} = – frac{sqrt[6]{34}}{2} cos{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} + frac{sqrt{3} sqrt[6]{34}}{2} sin{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} + frac{sqrt[6]{34} i}{2} sin{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{34} cos{left (frac{1}{3} {atan}{left (frac{5}{3} right )} right )}$$

Ответ

Данное ур-ние не имеет решений

Численный ответ

z1 = -1.37228884802 – 1.16466094589*i

z2 = -0.322481541927 + 1.77076747666*i

z3 = 1.69477038995 – 0.60610653077*i

   
4.02
yaraya
Кандидат искусствоведения, педагог с большим практическим опытом работы и значительным опытом написания различных видов работ (дипломные, курсовые, статьи, контрольный, рефераты). - Каждая работа как ребенок... Рождаю, холю, лелею...-