z^4+1=0

Дано

$$z^{4} + 1 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{4} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
— модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (4 p \right )} + \cos{\left (4 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (4 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (4 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = — \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Читайте также  (a+b)*(c+d) если a=1 (упростите выражение)

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = — \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Ответ

Данное ур-ние не имеет решений

Численный ответ

z1 = -0.707106781187 + 0.707106781187*i

z2 = 0.707106781187 + 0.707106781187*i

z3 = 0.707106781187 — 0.707106781187*i

z4 = -0.707106781187 — 0.707106781187*i

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...