z^5-1=0

Дано

$$z^{5} — 1 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{5} — 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 — не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{1}$$
или
$$z = 1$$
Получим ответ: z = 1

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
— модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (5 p \right )} + \cos{\left (5 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (5 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (5 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{5} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} — i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{3} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{4} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} — i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{5} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Читайте также  sqrt(cos(x)^4+sin(x)^4) если x=-3/2 (упростите выражение)

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} — i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} — i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Ответ
$$z_{1} = 1$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
z2 = — — + —— — I* / — + ——
4 4 / 8 8

$$z_{2} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} — i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
Читайте также  6*=36

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
z3 = — — + —— + I* / — + ——
4 4 / 8 8

$$z_{3} = — \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
z4 = — — — —— — I* / — — ——
4 4 / 8 8

$$z_{4} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} — i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

___________
___ / ___
1 / 5 / 5 / 5
z5 = — — — —— + I* / — — ——
4 4 / 8 8

$$z_{5} = — \frac{\sqrt{5}}{4} — \frac{1}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
Читайте также  (9^x)-(3^x)=6
Численный ответ

z1 = 0.309016994375 — 0.951056516295*i

z2 = 1.00000000000000

z3 = 0.309016994375 + 0.951056516295*i

z4 = -0.809016994375 + 0.587785252292*i

z5 = -0.809016994375 — 0.587785252292*i

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...