2*x1+x2+x3+x4=1 x2-x3+x4=2 2*x1+2*x2+3*x4=3

Дано

$$x_{4} + x_{3} + 2 x_{1} + x_{2} = 1$$

x2 — x3 + x4 = 2

$$x_{4} + x_{2} — x_{3} = 2$$

2*x1 + 2*x2 + 3*x4 = 3

$$3 x_{4} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = 3$$
Ответ
$$x_{41} = 0$$
=
$$0$$
=

$$x_{11} = — x_{3} — \frac{1}{2}$$
=
$$- x_{3} — \frac{1}{2}$$
=

-0.5 — x3

$$x_{21} = x_{3} + 2$$
=
$$x_{3} + 2$$
=

2 + x3

Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$x_{4} + x_{3} + 2 x_{1} + x_{2} = 1$$
$$x_{4} + x_{2} — x_{3} = 2$$
$$3 x_{4} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = 3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1$$
$$x_{2} — x_{3} + x_{4} = 2$$
$$2 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{4} = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[begin{matrix}2 & 1 & 1 & 1 & 1\0 & 1 & -1 & 1 & 2\2 & 2 & 0 & 3 & 3end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[begin{matrix}2\0\2end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 3 ую строку
$$\left[begin{matrix}2 & 2 & 0 & 3 & 3end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -2 & -2end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -2 & -2end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -2 & -2\0 & 1 & -1 & 1 & 2\2 & 2 & 0 & 3 & 3end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[begin{matrix}-1\1\2end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -2 & -2end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -1 & 0end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -1 & 0end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -2 & -2\0 & 0 & 0 & -1 & 0\2 & 2 & 0 & 3 & 3end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}2 & 0 & 2 & -1 & -1end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}2 & 0 & 2 & -1 & -1end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -2 & -2\0 & 0 & 0 & -1 & 0\2 & 0 & 2 & -1 & -1end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[begin{matrix}1\0\2end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -2 & -2end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}2 & 2 & 0 & 3 & 3end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}2 & 2 & 0 & 3 & 3end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & -2 & -2\0 & 0 & 0 & -1 & 0\2 & 2 & 0 & 3 & 3end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[begin{matrix}-2\ -1\3end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 2 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & -1 & 0end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & -2end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & -2end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & -2\0 & 0 & 0 & -1 & 0\2 & 2 & 0 & 3 & 3end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}2 & 2 & 0 & 0 & 3end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}2 & 2 & 0 & 0 & 3end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & -2\0 & 0 & 0 & -1 & 0\2 & 2 & 0 & 0 & 3end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[begin{matrix}-1\0\2end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & -2end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}2 & 0 & 2 & 0 & -1end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}2 & 0 & 2 & 0 & -1end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & -2\0 & 0 & 0 & -1 & 0\2 & 0 & 2 & 0 & -1end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[begin{matrix}1\0\2end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & -2end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}2 & 2 & 0 & 0 & 3end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}2 & 2 & 0 & 0 & 3end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & -2\0 & 0 & 0 & -1 & 0\2 & 2 & 0 & 0 & 3end{matrix}\right]$$

Читайте также  708*a+200*b+60*c-2588/5=0 200*a+60*b+20*c-152=0 60*a+20*b+10*c-236/5=0

Все почти готово — осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- x_{2} + x_{3} + 2 = 0$$
$$- x_{4} = 0$$
$$2 x_{1} + 2 x_{2} — 3 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = x_{3} + 2$$
$$x_{4} = 0$$
$$x_{1} = — x_{2} + \frac{3}{2}$$
где x2, x3 — свободные переменные

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...