i5-i1=0 i2-i3=0 i3+i4-i5=0 36*i4+i5*24=54 6*i2+i3*12-i4*36=0

Дано

$$- i_{1} + i_{5} = 0$$

i2 — i3 = 0

$$i_{2} — i_{3} = 0$$

i3 + i4 — i5 = 0

$$- i_{5} + i_{3} + i_{4} = 0$$

36*i4 + i5*24 = 54

$$36 i_{4} + 24 i_{5} = 54$$

6*i2 + i3*12 — i4*36 = 0

$$- 36 i_{4} + 6 i_{2} + 12 i_{3} = 0$$
Ответ
$$i_{31} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$i_{51} = \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{3}{2}$$
=

1.5

$$i_{21} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$i_{11} = \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{3}{2}$$
=

1.5

$$i_{41} = \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
=

0.5

Метод Крамера
$$- i_{1} + i_{5} = 0$$
$$i_{2} — i_{3} = 0$$
$$- i_{5} + i_{3} + i_{4} = 0$$
$$36 i_{4} + 24 i_{5} = 54$$
$$- 36 i_{4} + 6 i_{2} + 12 i_{3} = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- i_{1} + i_{5} = 0$$
$$i_{2} — i_{3} = 0$$
$$i_{3} + i_{4} — i_{5} = 0$$
$$36 i_{4} + 24 i_{5} = 54$$
$$6 i_{2} + 12 i_{3} — 36 i_{4} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[begin{matrix}x_{5} + 0 x_{4} + 0 x_{3} + — x_{1} + 0 x_{2}\0 x_{5} + 0 x_{4} + — x_{3} + 0 x_{1} + x_{2}\ — x_{5} + x_{4} + x_{3} + 0 x_{1} + 0 x_{2}\24 x_{5} + 36 x_{4} + 0 x_{3} + 0 x_{1} + 0 x_{2}\0 x_{5} + — 36 x_{4} + 12 x_{3} + 0 x_{1} + 6 x_{2}end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0\0\0\54\0end{matrix}\right]$$
— это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{\left (\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1\0 & 1 & -1 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 1 & -1\0 & 0 & 0 & 36 & 24\0 & 6 & 12 & -36 & 0end{matrix}\right] \right )} = -1944$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = — \frac{1}{1944} {det}{\left (\left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1\0 & 1 & -1 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 1 & -1\54 & 0 & 0 & 36 & 24\0 & 6 & 12 & -36 & 0end{matrix}\right] \right )} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{1}{1944} {det}{\left (\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1\0 & 0 & -1 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 1 & -1\0 & 54 & 0 & 36 & 24\0 & 0 & 12 & -36 & 0end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{3} = — \frac{1}{1944} {det}{\left (\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1\0 & 1 & 0 & 0 & 0\0 & 0 & 0 & 1 & -1\0 & 0 & 54 & 36 & 24\0 & 6 & 0 & -36 & 0end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{4} = — \frac{1}{1944} {det}{\left (\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1\0 & 1 & -1 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 0 & -1\0 & 0 & 0 & 54 & 24\0 & 6 & 12 & 0 & 0end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{2}$$
$$x_{5} = — \frac{1}{1944} {det}{\left (\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 1 & 0\0 & 0 & 0 & 36 & 54\0 & 6 & 12 & -36 & 0end{matrix}\right] \right )} = \frac{3}{2}$$

Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$- i_{1} + i_{5} = 0$$
$$i_{2} — i_{3} = 0$$
$$- i_{5} + i_{3} + i_{4} = 0$$
$$36 i_{4} + 24 i_{5} = 54$$
$$- 36 i_{4} + 6 i_{2} + 12 i_{3} = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- i_{1} + i_{5} = 0$$
$$i_{2} — i_{3} = 0$$
$$i_{3} + i_{4} — i_{5} = 0$$
$$36 i_{4} + 24 i_{5} = 54$$
$$6 i_{2} + 12 i_{3} — 36 i_{4} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 6 & 12 & -36 & 0 & 0end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[begin{matrix}0\1\0\0\6end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 2 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 0 & 18 & -36 & 0 & 0end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 0 & 18 & -36 & 0 & 0end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 0 & 18 & -36 & 0 & 0end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[begin{matrix}0\ -1\1\0\18end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 2 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 0 & 18 & -36 & 0 & 0end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 18 & 0 & -36 & 0 & 0end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 18 & 0 & -36 & 0 & 0end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 18 & 0 & -36 & 0 & 0end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[begin{matrix}0\0\1\36\ -36end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 4 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & -1 — \frac{2}{3} & — \frac{3}{2}end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 18 & 0 & -36 & 0 & 0end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
В 5 ом столбце
$$\left[begin{matrix}1\0\ — \frac{5}{3}\24\24end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}- \frac{5}{3} & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} — — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}- \frac{5}{3} & 1 & 0 & 0 & 0 & — \frac{3}{2}end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\ — \frac{5}{3} & 1 & 0 & 0 & 0 & — \frac{3}{2}\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}24 & 0 & 0 & 36 & 0 & 54end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}24 & 0 & 0 & 36 & 0 & 54end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\ — \frac{5}{3} & 1 & 0 & 0 & 0 & — \frac{3}{2}\24 & 0 & 0 & 36 & 0 & 54\0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}24 & 18 & 0 & 0 & 0 & 54end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}24 & 18 & 0 & 0 & 0 & 54end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\ — \frac{5}{3} & 1 & 0 & 0 & 0 & — \frac{3}{2}\24 & 0 & 0 & 36 & 0 & 54\24 & 18 & 0 & 0 & 0 & 54end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[begin{matrix}-1\0\ — \frac{5}{3}\24\24end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}- \frac{5}{3} — — \frac{5}{3} & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}\24 & 0 & 0 & 36 & 0 & 54\24 & 18 & 0 & 0 & 0 & 54end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\24 & 18 & 0 & 0 & 0 & 54end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[begin{matrix}0\1\1\0\18end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 2 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 0 & 18 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 0 & 18 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 0 & 1 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 0 & 18 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[begin{matrix}0\ -1\1\0\18end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 2 ую строку
$$\left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 0 & 18 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\0 & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
В 5 ом столбце
$$\left[begin{matrix}1\0\ — \frac{5}{3}\24\24end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
— Для этого берём 1 ую строку
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}- \frac{5}{3} & 1 & 0 & 0 & — \frac{5}{3} — — \frac{5}{3} & — \frac{3}{2}end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}- \frac{5}{3} & 1 & 0 & 0 & 0 & — \frac{3}{2}end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\ — \frac{5}{3} & 1 & 0 & 0 & 0 & — \frac{3}{2}\0 & 0 & 0 & 36 & 24 & 54\0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}24 & 0 & 0 & 36 & 0 & 54end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}24 & 0 & 0 & 36 & 0 & 54end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\ — \frac{5}{3} & 1 & 0 & 0 & 0 & — \frac{3}{2}\24 & 0 & 0 & 36 & 0 & 54\0 & 18 & 0 & 0 & 24 & 54end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[begin{matrix}24 & 18 & 0 & 0 & 0 & 54end{matrix}\right] = \left[begin{matrix}24 & 18 & 0 & 0 & 0 & 54end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\ — \frac{5}{3} & 1 & 0 & 0 & 0 & — \frac{3}{2}\24 & 0 & 0 & 36 & 0 & 54\24 & 18 & 0 & 0 & 0 & 54end{matrix}\right]$$

Читайте также  5*(2*x-1)+1=6*(y+1)-8 2*(x+3*y)+5=3*(y-2*x)+4

Все почти готово — осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- x_{1} + x_{5} = 0$$
$$x_{2} — x_{3} = 0$$
$$- \frac{5 x_{1}}{3} + x_{2} + \frac{3}{2} = 0$$
$$24 x_{1} + 36 x_{4} — 54 = 0$$
$$24 x_{1} + 18 x_{2} — 54 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = x_{5}$$
$$x_{2} = x_{3}$$
$$x_{1} = \frac{3 x_{2}}{5} + \frac{9}{10}$$
$$x_{1} = — \frac{3 x_{4}}{2} + \frac{9}{4}$$
$$x_{1} = — \frac{3 x_{2}}{4} + \frac{9}{4}$$
где x2, x3, x4, x5 — свободные переменные

Численный ответ
Читайте также  3^2*|x|=81 log(x)=log(3*y-1)

i11 = 1.50000000000000
i21 = 1.00000000000000
i31 = 1.00000000000000
i41 = 0.500000000000000
i51 = 1.50000000000000

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...