x-y+z=3 x+y-z=1 -x+y+z=-3

x + y – z = 1

-x + y + z = -3

2

$$z_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x – y + z = 3$$
$$x + y – z = 1$$
$$- x + y + z = -3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}x_{3} + x_{1} – x_{2} – x_{3} + x_{1} + x_{2}x_{3} + – x_{1} + x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}31 -3end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & -1 & 11 & 1 & -1 -1 & 1 & 1end{matrix}right] right )} = 4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{4} {det}{left (left[begin{matrix}3 & -1 & 11 & 1 & -1 -3 & 1 & 1end{matrix}right] right )} = 2$$
$$x_{2} = frac{1}{4} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 3 & 11 & 1 & -1 -1 & -3 & 1end{matrix}right] right )} = -1$$
$$x_{3} = frac{1}{4} {det}{left (left[begin{matrix}1 & -1 & 31 & 1 & 1 -1 & 1 & -3end{matrix}right] right )} = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x – y + z = 3$$
$$x + y – z = 1$$
$$- x + y + z = -3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & -1 & 1 & 31 & 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 1 & -3end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}11 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & -1 & 1 & 3end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 2 & -2 & -2end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 2 & -2 & -2end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & -1 & 1 & 3 & 2 & -2 & -2 -1 & 1 & 1 & -3end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 2 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 2 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & -1 & 1 & 3 & 2 & -2 & -2 & 0 & 2 & 0end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}-12end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 2 & -2 & -2end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2 & 2 & -2 & -2 & 0 & 2 & 0end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}0 -22end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 2 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 2 & 0 & -2end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 2 & 0 & -2end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} – 2 = 0$$
$$2 x_{2} + 2 = 0$$
$$2 x_{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 0$$

x1 = 2.00000000000000
y1 = -1.00000000000000
z1 = 0.0