В треугольнике АВС на продолжении стороны АС за точкой С отложена точка М так, что МС:АС=2:1. Н середина АВ. МН пересекает ВС в точке О. Найдите отношение площадей треугольников SABC: SOCM.

Пусть SABC – площадь треугольника ABC, SOCM – площадь треугольника OCM.

Шаги решения:

1. Найдем площадь треугольника OBC. Так как М является серединой AC, то площадь треугольника OBC равна половине площади треугольника ABC:
S(OBC) = S(ABC) / 2.

2. Найдем отношение площадей треугольников OBC и OCM. Поскольку треугольники OBC и OCM имеют общую высоту, то их площади будут пропорциональны базам (сторонам, на которые определяется высота):
S(OBC) / S(OCM) = BC / CM.

3. Найдем длину отрезка BC. Поскольку СМ:АС=2:1, то отношение длин сторон треугольников МСВ и МАВ также будет равно 2:1. Используя это соотношение, найдем длину ВС:
BC / CM = 1 / 2,
BC = CM / 2.

4. Подставим выражение для BC в формулу из шага 2:
S(OBC) / S(OCM) = (CM / 2) / CM = 1 / 2.

5. Обратимся к выражению из шага 1:
S(OBC) = S(ABC) / 2.
Подставим это выражение в отношение площадей из шага 4:
(S(ABC) / 2) / S(OCM) = 1 / 2.
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
S(ABC) / S(OCM) = 1.

6. Таким образом, отношение площадей треугольников SABC и SOCM равно 1:1.

Ответ: отношение площадей треугольников SABC и SOCM равно 1:1.