3*x+4*y=10 4*x+3*y=5

4*x + 3*y = 5

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + 4 y = 10$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = – 4 y + 10$$
$$3 x = – 4 y + 10$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$frac{3 x}{3} = frac{1}{3} left(- 4 y + 10right)$$
$$x = – frac{4 y}{3} + frac{10}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$4 x + 3 y = 5$$
Получим:
$$3 y + 4 left(- frac{4 y}{3} + frac{10}{3}right) = 5$$
$$- frac{7 y}{3} + frac{40}{3} = 5$$
Перенесем свободное слагаемое 40/3 из левой части в правую со сменой знака
$$- frac{7 y}{3} = – frac{25}{3}$$
$$- frac{7 y}{3} = – frac{25}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$frac{-1 frac{7}{3} y}{- frac{7}{3}} = frac{25}{7}$$
$$y = frac{25}{7}$$
Т.к.
$$x = – frac{4 y}{3} + frac{10}{3}$$
то
$$x = – frac{100}{21} + frac{10}{3}$$
$$x = – frac{10}{7}$$

Ответ:
$$x = – frac{10}{7}$$
$$y = frac{25}{7}$$

-1.42857142857143

$$y_{1} = frac{25}{7}$$
=
$$frac{25}{7}$$
=

3.57142857142857

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 4 y = 10$$
$$4 x + 3 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}3 x_{1} + 4 x_{2}4 x_{1} + 3 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}105end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}3 & 44 & 3end{matrix}right] right )} = -7$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{7} {det}{left (left[begin{matrix}10 & 45 & 3end{matrix}right] right )} = – frac{10}{7}$$
$$x_{2} = – frac{1}{7} {det}{left (left[begin{matrix}3 & 104 & 5end{matrix}right] right )} = frac{25}{7}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 4 y = 10$$
$$4 x + 3 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}3 & 4 & 104 & 3 & 5end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}34end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}3 & 4 & 10end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{16}{3} + 3 & – frac{40}{3} + 5end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{7}{3} & – frac{25}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 4 & 10 & – frac{7}{3} & – frac{25}{3}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}4 – frac{7}{3}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & – frac{7}{3} & – frac{25}{3}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}3 & 0 & – frac{100}{7} + 10end{matrix}right] = left[begin{matrix}3 & 0 & – frac{30}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}3 & 0 & – frac{30}{7} & – frac{7}{3} & – frac{25}{3}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} + frac{30}{7} = 0$$
$$- frac{7 x_{2}}{3} + frac{25}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = – frac{10}{7}$$
$$x_{2} = frac{25}{7}$$

x1 = -1.428571428571429
y1 = 3.571428571428571