Привести к каноническому виду

Дано

$$25 x^{2} + 200 x — 4 y^{2} + 24 y + 264 = 0$$
Подробное решение
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$25 x^{2} + 200 x — 4 y^{2} + 24 y + 264 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 25$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 100$$
$$a_{22} = -4$$
$$a_{23} = 12$$
$$a_{33} = 264$$
Вычислим определитель
$$Delta = \left|begin{matrix}a_{11} & a_{12}\a_{12} & a_{22}end{matrix}\right|$$
или, подставляем
$$Delta = \left|begin{matrix}25 & 0\0 & -4end{matrix}\right|$$
$$Delta = -100$$
Т.к.
$$Delta$$
не равен 0, то
находим центр канонической системы координат. Для этого решаем систему уравнений
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
подставляем коэффициенты
$$25 x_{0} + 100 = 0$$
$$- 4 y_{0} + 12 = 0$$
тогда
$$x_{0} = -4$$
$$y_{0} = 3$$
Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O’x’y’
$$a’_{33} + a_{11} x’^{2} + 2 a_{12} x’ y’ + a_{22} y’^{2} = 0$$
где
$$a’_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
или
$$a’_{33} = 100 x_{0} + 12 y_{0} + 264$$
$$a’_{33} = -100$$
тогда ур-ние превратится в
$$25 x’^{2} — 4 y’^{2} — 100 = 0$$
Данное уравнение является гиперболой
$$\frac{tilde x^{2}}{4} — \frac{tilde y^{2}}{25} = 1$$
— приведено к каноническому виду
Центр канонической системы координат в точке O

(-4, 3)

Базис канонической системы координат
$$vec e_1 = \left ( 1, quad 0\right )$$
$$vec e_2 = \left ( 0, quad 1\right )$$

Метод инвариантов
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$25 x^{2} + 200 x — 4 y^{2} + 24 y + 264 = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 25$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 100$$
$$a_{22} = -4$$
$$a_{23} = 12$$
$$a_{33} = 264$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$

|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|

$$I_{3} = \left|begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\a_{12} & a_{22} & a_{23}\a_{13} & a_{23} & a_{33}end{matrix}\right|$$
$$I{\left (lambda \right )} = \left|begin{matrix}a_{11} — lambda & a_{12}\a_{12} & a_{22} — lambdaend{matrix}\right|$$

|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = 21$$

|25 0 |
I2 = | |
|0 -4|

$$I_{3} = \left|begin{matrix}25 & 0 & 100\0 & -4 & 12\100 & 12 & 264end{matrix}\right|$$
$$I{\left (lambda \right )} = \left|begin{matrix}- lambda + 25 & 0\0 & — lambda — 4end{matrix}\right|$$

|25 100| |-4 12 |
K2 = | | + | |
|100 264| |12 264|

$$I_{1} = 21$$
$$I_{2} = -100$$
$$I_{3} = 10000$$
$$I{\left (lambda \right )} = lambda^{2} — 21 lambda — 100$$
$$K_{2} = -4600$$
Т.к.
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} neq 0$$
то по признаку типов линий:
данное уравнение имеет тип : гипербола
Составляем характеристическое уравнение для нашей линии:
$$- I_{1} lambda + I_{2} + lambda^{2} = 0$$
или
$$lambda^{2} — 21 lambda — 100 = 0$$
$$lambda_{1} = 25$$
$$lambda_{2} = -4$$
тогда канонический вид уравнения будет
$$tilde x^{2} lambda_{1} + tilde y^{2} lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
или
$$25 tilde x^{2} — 4 tilde y^{2} — 100 = 0$$
$$\frac{tilde x^{2}}{4} — \frac{tilde y^{2}}{25} = 1$$
— приведено к каноническому виду

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...