График функции y = log(2,|x|)

$$f{left (x right )} = frac{log{left (2 right )}}{log{left (left|{x}right| right )}}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$frac{log{left (2 right )}}{log{left (left|{x}right| right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(2)/log(|x|).
$$frac{log{left (2 right )}}{log{left (left|{0}right| right )}}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{1}{e^{2}}$$
$$x_{2} = e^{-2}$$
Также нужно подсчитать пределы y” для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$lim_{x to -1^-}left(frac{log{left (2 right )}}{log^{2}{left (left|{x}right| right )}} left(- frac{2 deltaleft(xright)}{left|{x}right|} + frac{1}{x^{2}} {sign}^{2}{left (x right )} + frac{2 {sign}^{2}{left (x right )}}{x^{2} log{left (left|{x}right| right )}}right)right) = 1.51455346999346 cdot 10^{374} log{left (2 right )}$$
$$lim_{x to -1^+}left(frac{log{left (2 right )}}{log^{2}{left (left|{x}right| right )}} left(- frac{2 deltaleft(xright)}{left|{x}right|} + frac{1}{x^{2}} {sign}^{2}{left (x right )} + frac{2 {sign}^{2}{left (x right )}}{x^{2} log{left (left|{x}right| right )}}right)right) = 1.51455346999346 cdot 10^{374} log{left (2 right )}$$
– пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$lim_{x to 1^-}left(frac{log{left (2 right )}}{log^{2}{left (left|{x}right| right )}} left(- frac{2 deltaleft(xright)}{left|{x}right|} + frac{1}{x^{2}} {sign}^{2}{left (x right )} + frac{2 {sign}^{2}{left (x right )}}{x^{2} log{left (left|{x}right| right )}}right)right) = 1.51455346999346 cdot 10^{374} log{left (2 right )}$$
$$lim_{x to 1^+}left(frac{log{left (2 right )}}{log^{2}{left (left|{x}right| right )}} left(- frac{2 deltaleft(xright)}{left|{x}right|} + frac{1}{x^{2}} {sign}^{2}{left (x right )} + frac{2 {sign}^{2}{left (x right )}}{x^{2} log{left (left|{x}right| right )}}right)right) = 1.51455346999346 cdot 10^{374} log{left (2 right )}$$
– пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-exp(-2), exp(-2)]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -exp(-2)] U [exp(-2), oo)

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{log{left (2 right )}}{log{left (left|{x}right| right )}}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(2)/log(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{log{left (2 right )}}{x log{left (left|{x}right| right )}}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$frac{log{left (2 right )}}{log{left (left|{x}right| right )}} = frac{log{left (2 right )}}{log{left (left|{x}right| right )}}$$
– Да
$$frac{log{left (2 right )}}{log{left (left|{x}right| right )}} = – frac{log{left (2 right )}}{log{left (left|{x}right| right )}}$$
– Нет
значит, функция
является
чётной