y = 1/2*sin(2*x-pi/3)+1

$$f{left (x right )} = frac{1}{2} sin{left (2 x – frac{pi}{3} right )} + 1$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$frac{1}{2} sin{left (2 x – frac{pi}{3} right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x – pi/3)/2 + 1.
$$frac{1}{2} sin{left (- frac{pi}{3} + 0 cdot 2 right )} + 1$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = – frac{sqrt{3}}{4} + 1$$
Точка:

(0, 1 – sqrt(3)/4)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{pi}{12}$$
$$x_{2} = frac{5 pi}{12}$$
Зн. экстремумы в точках:

-pi
(—-, 1/2)
12

/pi pi
cos|– – –|
5*pi 3 3 /
(—-, 1 + ————)
12 2

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = – frac{pi}{12}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{5 pi}{12}$$
Убывает на промежутках

[-pi/12, 5*pi/12]

Возрастает на промежутках

(-oo, -pi/12] U [5*pi/12, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{2 pi}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, pi/6] U [2*pi/3, oo)

Выпуклая на промежутках

[pi/6, 2*pi/3]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{2} sin{left (2 x – frac{pi}{3} right )} + 1right) = langle frac{1}{2}, frac{3}{2}rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle frac{1}{2}, frac{3}{2}rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x – pi/3)/2 + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(frac{1}{2} sin{left (2 x – frac{pi}{3} right )} + 1right)right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$frac{1}{2} sin{left (2 x – frac{pi}{3} right )} + 1 = – frac{1}{2} sin{left (2 x + frac{pi}{3} right )} + 1$$
– Нет
$$frac{1}{2} sin{left (2 x – frac{pi}{3} right )} + 1 = – frac{1}{2} left(-1 sin{left (2 x + frac{pi}{3} right )}right) – 1$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной