y = cos(x-pi/3)+2

$$f{left (x right )} = cos{left (x – frac{pi}{3} right )} + 2$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$cos{left (x – frac{pi}{3} right )} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x – pi/3) + 2.
$$cos{left (- frac{pi}{3} right )} + 2$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = frac{5}{2}$$
Точка:

(0, 5/2)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{3}$$
$$x_{2} = frac{4 pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

pi /pi pi
(–, 2 + cos|– – –|)
3 3 3 /

4*pi /pi pi
(—-, 2 – cos|– – –|)
3 3 3 /

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{4 pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{pi}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/3] U [4*pi/3, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/3, 4*pi/3]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{5 pi}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -pi/6] U [5*pi/6, oo)

Выпуклая на промежутках

[-pi/6, 5*pi/6]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(cos{left (x – frac{pi}{3} right )} + 2right) = langle 1, 3rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle 1, 3rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x – pi/3) + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(cos{left (x – frac{pi}{3} right )} + 2right)right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$cos{left (x – frac{pi}{3} right )} + 2 = cos{left (x + frac{pi}{3} right )} + 2$$
– Нет
$$cos{left (x – frac{pi}{3} right )} + 2 = – cos{left (x + frac{pi}{3} right )} – 2$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной