y = e^(1/x)-1

$$f{left (x right )} = e^{frac{1}{x}} – 1$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{frac{1}{x}} – 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(1/x) – 1.
$$-1 + e^{frac{1}{0}}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = e^{tilde{infty}} – 1$$
Точка:

(0, -1 + exp(±oo))

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y” для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$lim_{x to 0^-}left(frac{e^{frac{1}{x}}}{x^{3}} left(2 + frac{1}{x}right)right) = 0$$
$$lim_{x to 0^+}left(frac{e^{frac{1}{x}}}{x^{3}} left(2 + frac{1}{x}right)right) = infty$$
– пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
– является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1/2]

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(e^{frac{1}{x}} – 1right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(1/x) – 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(e^{frac{1}{x}} – 1right)right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{frac{1}{x}} – 1 = -1 + e^{- frac{1}{x}}$$
– Нет
$$e^{frac{1}{x}} – 1 = 1 – e^{- frac{1}{x}}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной