y = log(1/3)*x

$$f{left (x right )} = x log{left (frac{1}{3} right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x log{left (frac{1}{3} right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(1/3)*x.
$$0 log{left (frac{1}{3} right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(x log{left (frac{1}{3} right )}right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(1/3)*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty} log{left (frac{1}{3} right )} = – log{left (3 right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = – x log{left (3 right )}$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x log{left (frac{1}{3} right )} = – x log{left (frac{1}{3} right )}$$
– Нет
$$x log{left (frac{1}{3} right )} = – -1 x log{left (frac{1}{3} right )}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной