y = sin(2*x-1)

$$f{left (x right )} = sin{left (2 x – 1 right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$sin{left (2 x – 1 right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = frac{1}{2}$$
$$x_{2} = frac{1}{2} + frac{pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 14.6371669412$$
$$x_{2} = -56.0486677646$$
$$x_{3} = -32.4867228627$$
$$x_{4} = 44.4822971503$$
$$x_{5} = -30.9159265359$$
$$x_{6} = 3.64159265359$$
$$x_{7} = -65.4734457254$$
$$x_{8} = -79.6106126665$$
$$x_{9} = 52.3362787842$$
$$x_{10} = 94.7477796077$$
$$x_{11} = -27.7743338823$$
$$x_{12} = -100.030964915$$
$$x_{13} = -41.9115008235$$
$$x_{14} = -92.1769832809$$
$$x_{15} = 82.1814089933$$
$$x_{16} = -93.7477796077$$
$$x_{17} = -34.0575191895$$
$$x_{18} = -49.7654824574$$
$$x_{19} = 11.4955742876$$
$$x_{20} = -73.3274273594$$
$$x_{21} = 25.6327412287$$
$$x_{22} = -40.3407044967$$
$$x_{23} = 74.3274273594$$
$$x_{24} = 55.4778714378$$
$$x_{25} = 80.6106126665$$
$$x_{26} = 16.2079632679$$
$$x_{27} = 97.8893722613$$
$$x_{28} = -4.21238898038$$
$$x_{29} = 38.1991118431$$
$$x_{30} = -84.3230016469$$
$$x_{31} = -19.9203522483$$
$$x_{32} = -10.4955742876$$
$$x_{33} = 9.92477796077$$
$$x_{34} = 91.6061869541$$
$$x_{35} = 46.0530934771$$
$$x_{36} = 53.907075111$$
$$x_{37} = -12.0663706144$$
$$x_{38} = -51.3362787842$$
$$x_{39} = 72.7566310326$$
$$x_{40} = 102.601761242$$
$$x_{41} = -87.4645943005$$
$$x_{42} = -85.8937979737$$
$$x_{43} = -48.1946861306$$
$$x_{44} = -35.6283155163$$
$$x_{45} = -21.4911485751$$
$$x_{46} = -57.6194640914$$
$$x_{47} = 60.1902604182$$
$$x_{48} = -18.3495559215$$
$$x_{49} = -62.3318530718$$
$$x_{50} = -63.9026493986$$
$$x_{51} = 24.0619449019$$
$$x_{52} = 33.4867228627$$
$$x_{53} = 61.761056745$$
$$x_{54} = 17.7787595947$$
$$x_{55} = 30.3451302091$$
$$x_{56} = 90.0353906273$$
$$x_{57} = 47.6238898038$$
$$x_{58} = -26.2035375555$$
$$x_{59} = 96.3185759345$$
$$x_{60} = -78.0398163397$$
$$x_{61} = -29.3451302091$$
$$x_{62} = -43.4822971503$$
$$x_{63} = 31.9159265359$$
$$x_{64} = -13.6371669412$$
$$x_{65} = 88.4645943005$$
$$x_{66} = 0.5$$
$$x_{67} = 66.4734457254$$
$$x_{68} = -71.7566310326$$
$$x_{69} = -70.1858347058$$
$$x_{70} = -98.4601685881$$
$$x_{71} = 68.0442420522$$
$$x_{72} = 83.7522053201$$
$$x_{73} = 8.35398163397$$
$$x_{74} = -76.4690200129$$
$$x_{75} = 75.8982236862$$
$$x_{76} = 39.7699081699$$
$$x_{77} = 69.615038379$$
$$x_{78} = 2.07079632679$$
$$x_{79} = 50.7654824574$$
$$x_{80} = -7.35398163397$$
$$x_{81} = -5.78318530718$$
$$x_{82} = 58.6194640914$$
$$x_{83} = -54.4778714378$$
$$x_{84} = 22.4911485751$$
$$x_{85} = -95.3185759345$$
$$x_{86} = 36.6283155163$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x – 1).
$$sin{left (-1 + 0 cdot 2 right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = – sin{left (1 right )}$$
Точка:

(0, -sin(1))

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{1}{2} + frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{1}{2} + frac{3 pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

1 pi
(- + –, 1)
2 4

1 3*pi
(- + —-, -1)
2 4

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{1}{2} + frac{3 pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{1}{2} + frac{pi}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1/2 + pi/4] U [1/2 + 3*pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

[1/2 + pi/4, 1/2 + 3*pi/4]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{1}{2}$$
$$x_{2} = frac{1}{2} + frac{pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 1/2] U [1/2 + pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[1/2, 1/2 + pi/2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} sin{left (2 x – 1 right )} = langle -1, 1rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle -1, 1rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x – 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} sin{left (2 x – 1 right )}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$sin{left (2 x – 1 right )} = – sin{left (2 x + 1 right )}$$
– Нет
$$sin{left (2 x – 1 right )} = – -1 sin{left (2 x + 1 right )}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной