y = sin(2*x)+4

$$f{left (x right )} = sin{left (2 x right )} + 4$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$sin{left (2 x right )} + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(2*x) + 4.
$$sin{left (0 cdot 2 right )} + 4$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

pi
(–, 5)
4

3*pi
(—-, 3)
4

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{3 pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{pi}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/4] U [3*pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/4, 3*pi/4]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = frac{pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi/2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(sin{left (2 x right )} + 4right) = langle 3, 5rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle 3, 5rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x) + 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(sin{left (2 x right )} + 4right)right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$sin{left (2 x right )} + 4 = – sin{left (2 x right )} + 4$$
– Нет
$$sin{left (2 x right )} + 4 = – -1 sin{left (2 x right )} – 4$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной