y = x+(sin(x))^2

$$f{left (x right )} = x + sin^{2}{left (x right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + sin^{2}{left (x right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + sin(x)^2.
$$sin^{2}{left (0 right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

-pi 1 pi
(—-, – – –)
4 2 4

3*pi 1 3*pi
(—-, – + —-)
4 2 4

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{3 pi}{4}$$
$$x_{2} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{3} = frac{pi}{4}$$
$$x_{4} = frac{3 pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[3*pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -pi/4] U [pi/4, 3*pi/4]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(x + sin^{2}{left (x right )}right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + sin(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(x + sin^{2}{left (x right )}right)right) = langle 0, 1rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = langle 0, 1rangle x$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + sin^{2}{left (x right )} = – x + sin^{2}{left (x right )}$$
– Нет
$$x + sin^{2}{left (x right )} = – -1 x – sin^{2}{left (x right )}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной