y = (x^2-81)/(x+9)

$$f{left (x right )} = frac{x^{2} – 81}{x + 9}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -9$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$frac{x^{2} – 81}{x + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 9$$
Численное решение
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = -9$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 – 81)/(x + 9).
$$frac{1}{9} left(-81 + 0^{2}right)$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = -9$$
Точка:

(0, -9)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = -9$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{x^{2} – 81}{x + 9}right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 – 81)/(x + 9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{x^{2} – 81}{x left(x + 9right)}right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$frac{x^{2} – 81}{x + 9} = frac{x^{2} – 81}{- x + 9}$$
– Нет
$$frac{x^{2} – 81}{x + 9} = – frac{x^{2} – 81}{- x + 9}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной